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2020 豊橋技術科学大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.ただし, n は自然数とする.

(1)  7n 6 で割った余りは 1 であることを証明したい.

ア. 数学的帰納法を用いて証明せよ.

イ. 二項定理を用いて証明せよ.

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易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.ただし, n は自然数とする.

2020年豊橋技科大前期【1】(2)2020104850102の図

(2)  1 辺の長さが 1 の正方形の面積を S 0 とする.右図に示すように,この正方形の各辺を 1 :1 に内分する 4 点を頂点とする正方形を作り,その面積を S 1 とする.さらに,新しくできた正方形の各辺を 2: 1 に内分する 4 点を頂点とする正方形を作り,その面積を S 2 とする.次に面積 S 2 の正方形の各辺を 3 :1 に内分する点を頂点とする正方形を作り,その面積を S 3 とする.以下,同様にこの操作を n 回行った後にできる正方形の面積を S n とする.

ア. 面積 S 2 を求めよ.

イ. 面積 S n S n-1 の関係を表す漸化式を求めよ.



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【2】 以下の問いに答えよ.

(1) 点 (0, p) から直線 y =x-1 に下ろした垂線の足を Q とする.ただし, p-1 とする.

ア. 点 Q の座標を求めよ.

イ. 点 Q と点 (0, p) との距離が 2 になるときの p の値を求めよ.

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【2】 以下の問いに答えよ.

(2) 任意の 2 直線 x =a x=b が放物線 y= x 24 と交わる点をそれぞれ R S とする.ただし, ab a0 b0 とする.

ア. 点 R における放物線 y = x24 の法線の方程式を求めよ.

イ. 問アで求めた法線に関して,直線 x =a と対称な直線 l の方程式を求めよ.

ウ. 点 S における放物線 y = x24 の法線に関して,直線 x =b と対称な直線を m とする.直線 l と直線 m の交点の座標を求めよ.

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2020年豊橋技科大前期【3】2020104850105の図

【3】  xy 平面上において,媒介変数 θ (0θ π 2) によって x= acos3 θ y=a sin3 θ と表される右図の曲線 AB について考える.ただし, a は正の定数とする.以下の問いに答えよ.

(1)  θ= π6 のときの曲線上の点を P とする.点 P における接線 l の方程式を求めよ.

(2) 接線 l y 軸と交わる点 C x 軸と交わる点 D の座標をそれぞれ求めよ.

(3) 図の斜線部分 ABCD の周囲全長を求めよ.

(4) 図の斜線部分 ABCD x 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.



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2020年豊橋技科大前期【4】2020104850106の図

【4】 右図のように, xy 平面上の格子点( x 座標および y 座標が共に整数となる点)上に点 P がある.点 P が座標 (x, y) にあるとき,点 P 1 回の操作で,次の A B C D E のいずれか一つを等しい確率で選び,格子点上を移動するものとする.

A (x, y) から (x, y+1 ) に移動する.

B (x, y) から (x+ 1,y+ 1) に移動する.

C (x, y) から (x- 1,y+1 ) に移動する.

D (x, y) から (x-1 ,y-1 ) に移動する.

E (x, y) から (x+ 1,y-1 ) に移動する.

最初に点 P (0, 0) にあるとき,以下の問いに答えよ.

(1)  2 回の操作後に,点 P (0, 0) にある確率を求めよ.

(2)  n 回の操作を行ったとき, A B C D E が選ばれた回数をそれぞれ a b c d e とする. n 回操作後の点 P x 座標および y 座標をそれぞれ a b c d e で表せ.

(3)  3 回の操作後に,点 P (1, 1) にある場合の d e の組合せを求めよ.

(4)  3 回の操作後に,点 P (1, 1) にある確率を求めよ.

(5)  m が奇数の場合, m 回の操作後に,点 P (1- m,0 ) にある確率を求めよ.



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