2020　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　袋$\mathrm{A}$には赤玉$2$個と白玉$4$個，袋$\mathrm{B}$には赤玉$2$個と白玉$3$個，袋$\mathrm{C}$には赤玉$4$個と白玉$2$個が入っている．袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出し，その玉が赤玉ならば袋$\mathrm{B}$から，白玉ならば袋$\mathrm{C}$から$2$個の玉を同時に取り出す．以下の問いに答えよ．

問１　取り出された$3$個の玉が，$3$個とも赤玉である確率を求めよ．

問２　取り出された$3$個の玉のうち，$2$個が赤玉で，$1$個が白玉である確率を求めよ．

問３　取り出された$3$個の玉のうち少なくとも$1$個が白玉であることがわかっているとき，$2$個が赤玉であり$1$個が白玉である条件付き確率を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$$(0,0,0)$とする座標空間内に，点$\mathrm{A}$$(6,12,10)$を中心とし，半径が$15$の球面がある．この球面が$xy$平面と交わってできる円を$C$とする．以下の問いに答えよ．

問１　円$C$の半径，および中心の座標を求めよ．

問２　点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，$\mathrm{OP}+\mathrm{PA}$を最小とする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，そのときの$\mathrm{▵OAP}$の面積を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{n{a}_n}{n{a}_n+n+2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の問いに答えよ．

問１　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$の値を求めよ．

問２　一般項$a_n$を推測し，それがすべての自然数$n$について成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．

【４】　導関数の定義にしたがって，関数$\cos x$の導関数が$-\sin x$であることを示せ．ただし，必要があれば，$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1$であることを証明なしに用いてよい．

【５】　$2$つの関数

$f(x)=\log (x+{\displaystyle \frac{5}{4}})\text{，}$$g(x)=\left|x\right|$

に対し，合成関数$g(f(x))\text{，}$$f(g(x))$を考える．ただし，$\log$は自然対数を表す．以下の問いに答えよ．

問１　関数$y=g(f(x))$のグラフと関数$y=f(g(x))$のグラフの共有点のうち，$x$座標が負であるような点の座標を求めよ．

問２　問１で求めた点の$x$座標を$a$とする．区間$a\leqq x\leqq 0$において，関数$y=g(f(x))$のグラフと関数$y=f(g(x))$のグラフとで囲まれた部分の面積を求めよ．