2020　三重大学　後期生物資源学部MathJax

【１】　周期関数$z=\cos \varphi$について，各問(1)〜(4)に答えよ．

(1) 　$0\leqq \varphi \leqq 3\pi$の範囲において$\cos \varphi =1$を満たす$\varphi$の値は$2$つ存在する．値が小さい方が$\varphi =\text{ア}$で，大きい方が$\varphi =\text{イ}$である．

　$\text{ア}$と$\text{イ}$にあてはまる最も適当なものを，次の$\text{①}\text{〜}$$\text{⑥}$のうちから選べ．

(2) 　$\varphi$が(1)で求めた$\text{イ}$の場合について答えよ．$\varphi =2\pi ({\displaystyle \frac{x}{\lambda }}-{\displaystyle \frac{t}{T}})$とおく．ただし，$\lambda$と$T$は定数$\text{（}\lambda T\ne 0\text{）}$とし，$x$と$t$は変数とする．$\cos \varphi =1$を満たす点$x$の，$t$の増加に伴う変化を調べるために，変数$x$を$t$の関数とみなす．この関数を$t$で微分した値を$v$とおく$(v={\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}}\text{とおく})\text{．}$$v$を$\lambda$と$T$を用いて表せ．

(3)　$\varphi$が(1)で求めた$\text{ア}$の場合について答えよ．$\varphi =\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}-\omega t$とおく．ここで，$\overrightarrow{r}=(x,y)$は平面上の原点$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルとし，$\overrightarrow{k}=(k_x,k_y)$は$k_x\text{，}$$k_y$が共に正の定数であるベクトルとする．また，$\omega$と$t$はそれぞれ正の定数とする．このとき，$\cos \varphi =1$を満たす点$(x,y)$は直線となり，$\overrightarrow{k}$はその直線の法線ベクトルとなることを，$\overrightarrow{k}\text{，}$$\overrightarrow{r}\text{，}$$\omega t$の関係を座標上に図示しつつ，説明せよ．

(4)　$t$の値を増加させた場合，(3)で示した直線は，$t$の増加に伴ってその位置は平行移動する．$t=1$のときの直線と$t=0$のときの直線間の距離を求めよ．

【２】　次のような数列$\{a_n\}$がある．

$5,8,20,49,103,190,318,495,\cdots$

数列$\{a_n\}$の一般項を求めるため，それぞれ次のように定義される数列$\{b_n\}\text{，}$数列$\{c_n\}$を考える．ただし，数列$\{c_n\}$は等差数列とする．

$b_n=a_{n+1}-a_n$

$c_n=b_{n+1}-b_n$

以下の各問(1)〜(3)に答えよ．

(1)　数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　次の各問(1)〜(4)に答えよ．

(1)　$x=0$で極小値$0$をとり，$x=2$で極大値$4$をとる$3$次関数を求めよ．

【３】　次の各問(1)〜(4)に答えよ．

(2)　次の$2$曲線が接線を共有するとき，その接線の方程式を求めよ．

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+4$

【３】　次の各問(1)〜(4)に答えよ．

(3)　次の$3$式が成りたつとき，$f(x)$を求めよ．

$f(x)-g(x)=x$

$f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)=3x^2+2x+2$

$g(0)=1$

【３】　次の各問(1)〜(4)に答えよ．

(4)　方程式$x^3-3a^{2}x+q=0$$\text{（}a>0\text{）}$が異なる$3$つの実数解をもつための実数$q$の条件を求めよ．