2020 滋賀大学 前期

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2020 滋賀大学 前期

経済,教育(理系型)学部

易□ 並□ 難□

【1】 数列 { an} を次のように定める.

a1= 2 a2= 3 an+2 =an+1 +an n= 12

このとき,次の問いに答えよ.

(1) すべての自然数 n に対して, an>n であることを証明せよ.

(2) 命題「 an が偶数ならば, an の素因数は 2 だけである」の真偽を調べ,真ならば証明し,偽ならば反例をあげよ.

(3) 命題「すべての自然数 n に対して, an+ 1an は整数ではない」の真偽を調べ,真ならば証明し,偽ならば反例をあげよ.

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経済,教育(理系型)学部

易□ 並□ 難□

【2】 円に内接する四角形 ABCD において, AD=BD=2 ∠ADB= π6 ∠BDC=θ とし, ▵BCD の面積を S とする.このとき,次の問いに答えよ.ただし,

sin5 12π =6 +24 cas 512 π= 6-2 4

は用いてもよい.

(1) 辺 BC の長さを θ を用いて表せ.

(2)  S sin2 θ cos2θ を用いて表せ.

(3)  S=3-1 のとき, θ の値を求めよ.

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経済,教育(理系型)学部

易□ 並□ 難□

【3】 赤いボールと白いボール合わせて 10 個入っている袋から 1 個ずつボールを取り出すゲームを 2 種類考える.ゲーム1では取り出したボールを袋に戻してから次のボールを取り出し,ゲーム2では取り出したボールを袋に戻さずに次のボールを取り出すとする.いずれのゲームにおいても,白いボールを 2 個取り出す前に赤いボールを3個取り出した場合は「成功」とし,赤いボールを 3 個取り出す前に白いボールを 2 個取り出した場合は「失敗」とする.

 最初に袋の中に入っている赤いボールの個数を n とし,ゲーム1で成功する確率を pa ゲーム2で成功する確率を qn とおく.ただし 3n 8 である.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  p5 q5 の値をそれぞれ求めよ.

(2)  pn 12 となるような n の最小値 m を求めよ.

(3) (2)で定めた m について, pm qm の大小関係を判定せよ.

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経済,教育(理系型)学部

易□ 並□ 難□

【4】  t を実数とし, 4

O( 0,0,0 ) A( t-3,0, 0) B( t2+ 5t, 6t,t3 +1) C( 0,0,t-3 )

を頂点とする四面体の体積を V (t) とする.ただし, 4 O A B C が同一平面上にあるときには,体積は 0 とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  V(t ) を求めよ.

(2) 関数 V (t) の増減を調べ,そのグラフの概形をかけ.

(3)  -1t5 における V (t) の最大値を求めよ.

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データサイエンス学部

易□ 並□ 難□

【1】 正三角形 OAB において,線分 AB 1:2 に内分する点を C 線分 OA α: (1-α ) に内分する点を D 線分 OB β: (1-β ) に内分する点を E とする.ただし, 0<α<1 0<β<1 である.線分 OA に関して点 C と対称な点を F 線分 OB に関して点 C と対称な点を G とするとき,次の問いに答えよ.

(1) 三角形 ADF の面積が正三角形 OAB の面積の 1 6 になるような α の値を求めよ.

(2)  OF OG をそれぞれ OA OB を用いて表せ.

(3) 三角形 CDE 3 辺の長さの和が最小になるような α β の値を求めよ.

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データサイエンス学部

易□ 並□ 難□

【2】 円に内接する四角形 ABCD において, AB=3 BC=7 CD=x DA=12-x とする.ただし, 1<x<11 とする.四角形 ABCD ∠A の大きさを A で表すとき,次の問いに答えよ.

(1)  x=7 のとき, cosA A の値を求めよ.

(2)  cosA sinA をそれぞれ x を用いて表せ.

(3) 四角形 ABCD の面積の最大値を求めよ.

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データサイエンス学部

【3A】と【3B】から1題選択

易□ 並□ 難□

【3A】  2 次関数 f( x)= 54 x2-1 について,次の問いに答えよ.

(1)  a b f( a)=a f(b )=b a<b を満たす.このとき, axb における f (x) の最小値と最大値を求めよ.

(2)  p q p<q を満たす.このとき, pxq における f (x) の最小値が p 最大値が q となるような p q の組をすべて求めよ.

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データサイエンス学部

【3A】と【3B】から1題選択

易□ 並□ 難□

【3B】 ある国の 14 歳女子の身長は,母平均 160 cm 母標準偏差 5 cm の正規分布に従うものとする.この女子の集団から,無作為に抽出した女子の身長を X cm とする.このとき,次の問いに答えよ.なお,付表の正規分布表を利用してよい.

(1) 確率変数 X -1605 の平均と標準偏差を求めよ.

(2)  P(X x)0.1 となる最小の整数 x を求めよ.

(3)  X 165 cm 以上 175 cm 以下となる確率を求めよ.ただし,小数第 3 位を四捨五入せよ.

(4) この国の 14 歳女子の集団から,大きさ 2500 の無作為標本を抽出する.このとき,この標本平均 X の平均と標準偏差を求めよ.さらに, X の母平均と標本平均 X の差 | X-160 | 0.2 cm 以上となる確率を求めよ.ただし,小数第 3 位を四捨五入せよ.

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データサイエンス学部

【4C】か【4D】から1題選択

易□ 並□ 難□

【4C】  a b c を実数の定数とする. 3 次方程式 x3+ ax2+ bx+c= 0 が虚数解 x=2 +i をもつとき,次の問いに答えよ.

(1)  b c をそれぞれ a を用いて表せ.

(2)  3 次関数 f (x)= x3+a x2+b x+c x=2 における微分係数を求めよ.

(3)  f(x )=x3 +ax2 +bx+c x>2 において極小値をとるように a の値の範囲を定めよ.

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データサイエンス学部

【4C】か【4D】から1題選択

易□ 並□ 難□

【4D】 曲線 y=f (x ) y 軸のまわりに 1 回転してできる図形を,仮想的な容器とみなす.ただし,

f(x )={ 0 0 x<1 12 logx x 1

とする.この容器を水平面上に設置し,単位時間あたり 2π の水を注水する.空の容器に注水を始める時刻を t=0 とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 容器の底から高さ h まで注水したときの水の体積を求めよ.

(2) 時刻 t t 0 における水面の高さを求めよ.

(3) 時刻 t t 0 における水面が上昇する速さを求めよ.

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