2020　滋賀大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=2\text{，}$$a_2=3\text{，}$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対して，$a_n>n$であることを証明せよ．

(2)　命題「$a_n$が偶数ならば，$a_n$の素因数は$2$だけである」の真偽を調べ，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(3)　命題「すべての自然数$n$に対して，${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$は整数ではない」の真偽を調べ，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

【２】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=2\text{，}$$\mathrm{\angle ADB}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}$$\mathrm{\angle BDC}=\theta$とし，$\mathrm{▵BCD}$の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，

$\sin {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\text{．}$$\mathrm{cas}{\displaystyle \frac{5}{12}}\pi ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

は用いてもよい．

(1)　辺$\mathrm{BC}$の長さを$\theta$を用いて表せ．

(2)　$S$を$\sin 2\theta \text{，}$$\cos 2\theta$を用いて表せ．

(3)　$S=\sqrt{3}-1$のとき，$\theta$の値を求めよ．

【３】　赤いボールと白いボール合わせて$10$個入っている袋から$1$個ずつボールを取り出すゲームを$2$種類考える．ゲーム１では取り出したボールを袋に戻してから次のボールを取り出し，ゲーム２では取り出したボールを袋に戻さずに次のボールを取り出すとする．いずれのゲームにおいても，白いボールを$2$個取り出す前に赤いボールを3個取り出した場合は「成功」とし，赤いボールを$3$個取り出す前に白いボールを$2$個取り出した場合は「失敗」とする．

　最初に袋の中に入っている赤いボールの個数を$n$とし，ゲーム１で成功する確率を$p_a\text{，}$ゲーム２で成功する確率を$q_n$とおく．ただし$3\leqq n\leqq 8$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p_5\text{，}$$q_5$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$p_n\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$となるような$n$の最小値$m$を求めよ．

(3)　(2)で定めた$m$について，$p_m$と$q_m$の大小関係を判定せよ．

【４】　$t$を実数とし，$4$点

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(t-3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(t^2+5t,6t,t^3+1)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,t-3)$

を頂点とする四面体の体積を$V(t)$とする．ただし，$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が同一平面上にあるときには，体積は$0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$V(t)$を求めよ．

(2)　関数$V(t)$の増減を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(3)　$-1\leqq t\leqq 5$における$V(t)$の最大値を求めよ．

【１】　正三角形$\mathrm{OAB}$において，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$線分$\mathrm{OA}$を$\alpha \text{:}(1-\alpha )$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を$\beta :(1-\beta )$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．ただし，$0<\alpha <1\text{，}$$0<\beta <1$である．線分$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{F}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{G}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ADF}$の面積が正三角形$\mathrm{OAB}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{6}}$になるような$\alpha$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{CDE}$の$3$辺の長さの和が最小になるような$\alpha$と$\beta$の値を求めよ．

【２】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=7\text{，}$$\mathrm{CD}=x\text{，}$$\mathrm{DA}=12-x$とする．ただし，$1<x<11$とする．四角形$\mathrm{ABCD}$の$\mathrm{\angle A}$の大きさを$A$で表すとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x=7$のとき，$\cos A$と$A$の値を求めよ．

(2)　$\cos A$と$\sin A$をそれぞれ$x$を用いて表せ．

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積の最大値を求めよ．

【３A】　$2$次関数$f(x)={\displaystyle \frac{5}{4}}{x}^2-1$について，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$は$f(a)=a\text{，}$$f(b)=b\text{，}$$a<b$を満たす．このとき，$a\leqq x\leqq b$における$f(x)$の最小値と最大値を求めよ．

(2)　$p\text{，}$$q$は$p<q$を満たす．このとき，$p\leqq x\leqq q$における$f(x)$の最小値が$p\text{，}$最大値が$q$となるような$p\text{，}$$q$の組をすべて求めよ．

【３B】　ある国の$14$歳女子の身長は，母平均$160\mathrm{cm}\text{，}$母標準偏差$5\mathrm{cm}$の正規分布に従うものとする．この女子の集団から，無作為に抽出した女子の身長を$X\mathrm{cm}$とする．このとき，次の問いに答えよ．なお，付表の正規分布表を利用してよい．

(1)　確率変数${\displaystyle \frac{X-160}{5}}$の平均と標準偏差を求めよ．

(2)　$P(X\leqq x)\leqq 0.1$となる最小の整数$x$を求めよ．

(3)　$X$が$165\mathrm{cm}$以上$175\mathrm{cm}$以下となる確率を求めよ．ただし，小数第$3$位を四捨五入せよ．

(4)　この国の$14$歳女子の集団から，大きさ$2500$の無作為標本を抽出する．このとき，この標本平均$\bar{X}$の平均と標準偏差を求めよ．さらに，$X$の母平均と標本平均$\bar{X}$の差$|\bar{X}-160|$が$0.2\mathrm{cm}$以上となる確率を求めよ．ただし，小数第$3$位を四捨五入せよ．

【４C】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数の定数とする．$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+c=0$が虚数解$x=2+i$をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b$と$c$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$の$x=2$における微分係数を求めよ．

(3)　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$が$x>2$において極小値をとるように$a$の値の範囲を定めよ．

【４D】　曲線$y=f(x)$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる図形を，仮想的な容器とみなす．ただし，

$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{（}0\leqq x<1\text{）}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\log x& \text{（}x\geqq 1\text{）}\end{array}$

とする．この容器を水平面上に設置し，単位時間あたり$2\pi$の水を注水する．空の容器に注水を始める時刻を$t=0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　容器の底から高さ$h$まで注水したときの水の体積を求めよ．

(2)　時刻$t$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$における水面の高さを求めよ．

(3)　時刻$t$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$における水面が上昇する速さを求めよ．