2020 滋賀大学 後期経済学部

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2020 滋賀大学 後期経済学部

易□ 並□ 難□

【1】 自然数 a b c a+b 5=61+c 5 を満たすとき,次の問いに答えよ.ただし, 5 が無理数であることを用いてよい.

(1)  p q を有理数とする. p+q5 =0 ならば, p=q=0 であることを示せ.

(2)  a b c の値を求めよ.

(3)  am +bn =1 を満たす自然数の組 ( m,n) について, |m-| m-n| | の値が最大となる ( m,n) を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 平面 H 上の異なる 3 O A B について, OA= a OB= b |a | =α |b | =β とおく.直線 OA H を分割し,点 B が属さない領域に点 P をとる.また,直線 OB H を分割し,点 A が属さない領域に点 Q をとる. ▵OAB ∠O=90 ° を満たす直角三角形であり, ▵OAP ▵OBQ がともに正三角形であるとき,次の問いに答えよ.

(1)  OP OQ a b α β を用いてそれぞれ表せ.

(2)  |PQ | α β を用いて表せ.

(3)  |AB | =2 とする. |PQ | の最大値と,そのときの α β の値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】   a b を実数の定数とし, 3 次多項式 -x 3+ax 2+bx +2 f (x) とおく. f(x ) がすべての実数 x に対して

f(x +1)+ f(1- x)=4

を満たすとき,次の問いに答えよ.

(1)  a b の値を求めよ.

(2) 関数 y=f (x ) のグラフは,点 ( 1,2) に関して対称であることを示せ.

(3)  p 0 以上の実数とする.関数

F(p )= 0p{ f(t+ 1)-2 }dt

の最大値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】  n を自然数とする.初めに, A B は赤いカードを 1 枚ずつ, C は白いカードを 1 枚持っている. A 1 個のさいころを投げ, 3 の倍数の目が出たら A B がカードを交換し,その他の目が出たら A C がカードを交換するという試行を考える.この試行を n 回繰り返した後に A B C が赤いカードを持っている確率をそれぞれ an bn cn とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  a1 b1 c1 を求めよ.

(2)  an+1 bn+1 cn+1 an bn cn を用いてそれぞれ表せ.

(3)  n の値によらず, an bn cn の和は常に一定であることを示せ.

(4)  an+2 an を用いて表せ.

(5)  an の一般項を求めよ.

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