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2020-10521-0201
2020 滋賀大学 後期経済学部
易□ 並□ 難□
【1】 自然数 a , b, c が a+b⁢ 5=61+c ⁢5 を満たすとき,次の問いに答えよ.ただし, 5 が無理数であることを用いてよい.
(1) p, q を有理数とする. p+q⁢5 =0 ならば, p=q=0 であることを示せ.
(2) a, b, c の値を求めよ.
(3) am +bn =1 を満たす自然数の組 ( m,n) について, |m-| m-n| | の値が最大となる ( m,n) を求めよ.
2020-10521-0202
【2】 平面 H 上の異なる 3 点 O , A , B について, OA→= a→ , OB→= b→ , |a →| =α, |b →| =β とおく.直線 OA で H を分割し,点 B が属さない領域に点 P をとる.また,直線 OB で H を分割し,点 A が属さない領域に点 Q をとる. ▵OAB は ∠O=90 ⁢° を満たす直角三角形であり, ▵OAP, ▵OBQ がともに正三角形であるとき,次の問いに答えよ.
(1) OP→ , OQ→ を a→ , b→ , α, β を用いてそれぞれ表せ.
(2) |PQ →| を α , β を用いて表せ.
(3) |AB →| =2 とする. |PQ →| の最大値と,そのときの α , β の値を求めよ.
2020-10521-0203
【3】 a, b を実数の定数とし, 3 次多項式 -x 3+a⁢x 2+b⁢x +2 を f⁡ (x) とおく. f⁡(x ) がすべての実数 x に対して
f⁡(x +1)+ f⁡(1- x)=4
を満たすとき,次の問いに答えよ.
(1) a と b の値を求めよ.
(2) 関数 y=f ⁡(x ) のグラフは,点 ( 1,2) に関して対称であることを示せ.
(3) p を 0 以上の実数とする.関数
F⁡(p )=∫ 0p{ f⁡(t+ 1)-2 }⁢dt
の最大値を求めよ.
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【4】 n を自然数とする.初めに, A と B は赤いカードを 1 枚ずつ, C は白いカードを 1 枚持っている. A が 1 個のさいころを投げ, 3 の倍数の目が出たら A と B がカードを交換し,その他の目が出たら A と C がカードを交換するという試行を考える.この試行を n 回繰り返した後に A , B , C が赤いカードを持っている確率をそれぞれ an , bn , cn とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) a1 , b1 , c1 を求めよ.
(2) an+1 , bn+1 , cn+1 を an , bn , cn を用いてそれぞれ表せ.
(3) n の値によらず, an , bn , cn の和は常に一定であることを示せ.
(4) an+2 を an を用いて表せ.
(5) an の一般項を求めよ.