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2020 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】  a を負の実数とする. xy 平面上で曲線 C y= |x| x- 3x+ 1 と直線 l y=x+ a のグラフが接するときの a の値を求めよ.このとき, C l で囲まれた部分の面積を求めよ.

2020 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】  x 2 次関数で,そのグラフが y =x2 のグラフと 2 点で直交するようなものをすべて求めよ.ただし, 2 つの関数のグラフがある点で直交するとは,その点が 2 つのグラフの共有点であり,かつ接線どうしが直交することをいう.

2020 京都大学 前期

文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】  a を奇数とし,整数 m n に対して,

f( m,n) =mn 2+a m2+ n2+ 8

とおく. f( m,n) 16 で割り切れるような整数の組 ( m,n ) が存在するための a の条件を求めよ.

2020 京都大学 前期

文系,理系共通

理系は【3】

配点は文系30点,理系35点

易□ 並□ 難□

【4】  k を正の実数とする.座標空間において,原点 O を中心とする半径 1 の球面上の 4 A B C D が次の関係式を満たしている.

OẢ OB =OC OD = 12

OA OC =OB OC =- 64

OA OD =OB OD =k

このとき, k の値を求めよ.ただし,座標空間の点 X Y に対して, OX OY は, OX OY の内積を表す.

2020 京都大学 前期

文系,理系共通

配点は文系30点,理系35点

易□ 並□ 難□

1 2 3 4
3 4 1 2
4 1 2 3
2 3 4 1

【5】 縦 4 個,横 4 個のマス目のそれぞれに 1 2 3 4 の数字を入れていく.このマス目の横の並びを行といい,縦の並びを列という.どの行にも,どの列にも同じ数字が 1 回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ.右図はこのような入れ方の 1 例である.



2020 京都大学 前期

理系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】  a b は実数で, a>0 とする. z に関する方程式

z3+ 3a z2+ bz+ 1=0 (*)

3 つの相異なる解を持ち,それらは複素数平面上で一辺の長さが 3a の正三角形の頂点となっているとする.このとき, a b と(*)の 3 つの解を求めよ.

2020 京都大学 前期

理系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】  p を正の整数とする. α β x に関する方程式 x 2-2 px-1 =0 2 つの解で, |a |>1 であるとする.

(1) すべての正の整数 n に対し, αn +βn は整数であり,さらに偶数であることを証明せよ.

(2) 極限 limn (-α )n sin( αn π) を求めよ.

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理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【4】 正の整数 a に対して,

a=3 bc b c は整数で c 3 で割り切れない)

の形に書いたとき, B( a)= b と定める.例えば, B( 32 5)= 2 である.

  m n は整数で,次の条件を満たすとする.

(ⅰ)  1m 30

(ⅱ)  1n 30

(ⅲ)  n 3 で割り切れない.

このような (m, n) について

f( m,n) =m3 +n2 +n+3

とするとき,

A( m,n) =B( f( m,n) )

の最大値を求めよ.また, A( m,n ) の最大値を与えるような (m, n) をすべて求めよ.

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理系

配点35点

易□ 並□ 難□

【6】  x y z を座標とする空間において, xz 平面内の曲線

z=log (1 +x) 0x 1

z 軸のまわりに 1 回転させるとき,この曲線が通過した部分よりなる図形を S とする.この S をさらに x 軸のまわりに 1 回転させるとき, S が通過した部分よりなる立体を V とする.このとき, V の体積を求めよ.

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