2020 京都大学 特色入試理学部MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2020 京都大学 特色入試理学部

配点20点

易□ 並□ 難□

【1】  0x<1 の範囲で定義された連続関数 f( x) f (0)= 0 であり, 0<x<1 において何回でも微分可能で次を満たすとする.

f(x )>0 sin(f (x) )=x

この関数 f( x) に対して, 0<x<1 で連続な関数 fn (x) n=1 2 3 を以下のように定義する.

fn( x)= dndxn f (x)

以下の設問に答えよ.

(1) 関数 -x f( x)+(1 -x2) f (x) 0<x <1 において x によらない定数値をとることを示せ.

(2)  n=1 2 3 に対して,極限 an= limx+ 0fn (x) を求めよ.

(3) 極限 limN ( n =1N ann !2n2 ) は存在することが知られている.この事実を認めた上で,その極限値を小数第 1 位まで確定せよ.

2020 京都大学 特色入試理学部

配点20点

易□ 並□ 難□

【2】 次の 3 つのルール(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)にしたがって三角形 ABC の頂点上でコマを動かすことを考える.

(ⅰ) 時刻 0 においてコマは頂点 A に位置している.

(ⅱ) 時刻 0 にサイコロを振り,出た目が偶数なら時刻 1 で頂点 B に,出た目が奇数なら時刻 1 で頂点 C にコマを移動させる,

(ⅲ)  n=1 2 3 に対して,時刻 n にサイコロを振り,出た目が 3 の倍数でなければ時刻 n+1 でコマを時刻 n-1 に位置していた頂点に移動させ,出た目が 3 の倍数であれば時刻 n+1 でコマを時刻 n-1 にも時刻 n にも位置していなかった頂点に移動させる.

時刻 n においてコマが頂点 A に位置する確率を pn とする.以下の設問に答えよ.

(1)  p2 p3 を求めよ.

(2)  n=1 2 3 に対して, pn+1 pn- 1 pn を用いて表せ.

(3) 極限値 limn pn を求めよ.

2020 京都大学 特色入試理学部

配点20点

易□ 並□ 難□

【3】 整数 k n 0k <n を満たすとする.以下の設問に答えよ.

(1)  f(x )=xn g(x )=xk とする. 1x<y に対して,次の不等式が成り立つことを示せ.

| g(x )-g (y) f(x )-f (y) |< 1x

(2)  f(x ) g(x ) を実数係数の整式で, f(x ) の次数を n とし, g(x ) の次数を k 以下とする. f(x 0) が整数となるすべての実数 x0 に対して, g(x 0) も整数となるとき, g(x ) x によらず一定の整数値をとることを示せ.

2020 京都大学 特色入試理学部

配点20点

易□ 並□ 難□

【4】 四面体 ABCD の面および内部から一直線上にない 3 P Q R を選ぶ.このとき,三角形 PQR の面積は四面体 ABCD 4 つの面の面積のうち最大のものを超えないことを示せ.

inserted by FC2 system