2020　京都工芸繊維大学　前期MathJax

【１】　$a$を実数とする．$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=x^3{e}^{-2x^2}$と直線$L\text{：}y=ax$を考える．直線$L$は曲線$C$との接点を$2$つ以上もつとする．

(1)　実数$p$に対し，曲線$C$上の点$(p,p^3{e}^{-2p^2})$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(2)　$a$の値を求めよ．

(3)　$0$以上の実数$x$に対して，不等式$ax\geqq x^3{e}^{-2x^2}$が成り立つことを示せ．また，この不等式において等号が成立するような$0$以上の実数$x$の値を求めよ．

(4)　$xy$平面の$x\geqq 0$の範囲において，曲線$C$と直線$L$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　実数全体で定義された関数$F(y)={\displaystyle {\int }_0^y}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{1+t^2}}$を考える．

(1)　$x$の関数$F(\sqrt{x^2-1})$$\text{（}x>1\text{）}$の導関数を求めよ．また，$x$の関数$F(x+\sqrt{x^2-1})$$\text{（}x>1\text{）}$の導関数を求めよ．

(2)　ある実数の定数$a\text{，}$$b$について，

$F(\sqrt{x^2-1})=aF(x+\sqrt{x^2-1})+b$$\text{（}x\geqq 1\text{）}$

が成立することを示し，このような$a\text{，}$$b$の値を$1$組求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．実数を係数とする$x$の$n$次多項式$f(x)$を考える．$f^{\prime }(x)\text{，}$$f^{″}(x)$はそれぞれ$f(x)$の$1$階および$2$階の導関数とする．

(1)　$x$の多項式として$f(x)$が$f^{\prime }(x)$で割り切れるとき，$x$の多項式として$f(x)$を$f^{\prime }(x)$で割ったときの商の，次数および最も次数の高い項の係数をそれぞれ求めよ．

(2)　$n$が$2$以上のとき，$x$の多項式として$f(x)$が$f^{\prime }(x)$で割り切れるならば，$x$の多項式として$f^{\prime }(x)$は$f^{″}(x)$で割り切れることを示せ．

(3)　$x$の多項式として$f(x)$が$f^{\prime }(x)$で割り切れるならば，ある実数$\alpha$に対し，$x$の多項式として$f(x)$は${(x-\alpha )}^n$で割り切れることを示せ．

【４】　袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$にそれぞれ球がちょうど$2$つずつ入っているときに，次の操作(＊)を考える．

操作(＊)：最初に，袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$から$1$つずつ球を取り出し，空の袋$\mathrm{E}$に入れる．

つぎに，袋$\mathrm{C}$と袋$\mathrm{D}$から$1$つずつ球を取り出し，空の袋$\mathrm{F}$に入れる．

最後に，袋$\mathrm{E}$と袋$\mathrm{F}$から$1$つずつ球を取り出し，空の袋Gに入れる．

(1)　袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$にはそれぞれ球がちょうど$2$つずつ入っており，袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{C}$にはともに白色の球と赤色の球が$1$つずつ入っており，袋$\mathrm{B}$と袋$\mathrm{D}$にはともに白色の球が$2$つずつ入っているとする．操作(＊)を行ったとき，袋$\mathrm{G}$に赤色の球が$2$つ入っている確率$p_1$を求めよ．

(2)　袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$にはそれぞれ球がちょうど$2$つずつ入っており，袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$にはいずれも白色の球と赤色の球が$1$つずつ入っているとする．操作(＊)を行ったとき，袋$\mathrm{G}$に赤色の球が$2$つ入っている確率$p_2$を求めよ．

(3)　袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$にはそれぞれ球がちょうど$2$つずつ入っており，袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{C}$にはともに青色の球と赤色の球が$1$つずつ入っており，袋$\mathrm{B}$と袋$\mathrm{D}$にはともに黄色の球と緑色の球が$1$つずつ入っているとする．操作(＊)を行ったとき，袋$\mathrm{G}$に入っている$2$つの球の色が同じである確率$p_3$を求めよ．