2020 京都工芸繊維大学 後期MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2020 京都工芸繊維大学 後期

易□ 並□ 難□

【1】  a 0<a <π を満たす実数とする. xy 平面上の曲線 C y=2x+ sinx を考える.点 P (a,2 a+sina ) における C の接線を m とする. x 軸に平行な直線 y=2 a m との交点を Q とおく.点 R (a,2 a) Q との距離を l (a) で表す.

(1)  l(a ) を求めよ.

(2) 極限 lima +0 l (a) a および lim aπ-0 l (a) π-a を求めよ.

(3)  a 0< a<π の範囲を動くときの f (a) の最大値を求めよ.

2020 京都工芸繊維大学 後期

易□ 並□ 難□

【2】  a a>1 を満たす実数とする. x0 を定義域とする関数 f (x) を, n=0 1 2 に対して

f(x )=( x-n) n-1- (x-n )n n x<n+1 のとき)

により定める.また,定積分 In n =0 1 2

In= nn+1 e-a xf (x) dx

で定める.

(1)  b を正の実数とする. x0 を定義域とする関数 e -ax xb に対して, x>0 における導関数 d dx( e-ax xb ) を求めよ.

(2)  In を求めよ.

(3)  n=1 2 3 に対して In を求めよ.

(4)  n=1 2 3 に対して定積分 Jn =0 ne- ax f(x )dx を求めよ.さらに,極限 lim n Jn を求めよ.

2020 京都工芸繊維大学 後期

易□ 並□ 難□

【3】  x の多項式 P (x) は,係数が実数の 2 次式であり, x2 の係数は 1 であるとする.さらに, 4 次方程式

{P (x) }2+ 12P( x)+35 =0

の解が x= p p+1 α α であるとする.ただし, p は実数, α は複素数, α α と共役な複素数であり, α | α|= 52 を満たし, α の実部および虚部はともに正であるとする.このとき, p および α の値を求めよ.

2020 京都工芸繊維大学 後期

易□ 並□ 難□

【4】  d を自然数とし, w=cos πd +isin πd とおく.ただし, i は虚数単位である.

  n を自然数とする. n 回サイコロを投げ, k=1 n に対して k 回目に出る目を Xk とする.複素数 Z0 Z1 Zn を次の規則により定める.

Zo=1

k n に対し Zk ={ 12 Zk -1 Xk =1 のとき) 12 w Zk -1 X k=2 3 のとき) 2wZ k-1 Xk =4 56 のとき)

ただし, w w と共役な複素数を表す.

(1) 上記の n 回サイコロを投げる試行において, n 回中 1 の目の出る回数を A とし, 2 または 3 の目の出る回数を B とし, 4 5 6 のいずれかの目の出る回数を C とする. Zn の絶対値および Zn の偏角の 1 つを, A B C および d を用いて表せ.

(2)  d=100 n=101 の場合に, Zn が負の実数となる確率 p を求めよ.ただし,確率 p を表記する際に, 2100 3100 は計算せずそのまま用いてよい.

(3)  n=4 d の場合に, Zn=1 となる確率 q d を用いて表せ.

inserted by FC2 system