2020　大阪教育大学　前期MathJax

【１】　平面上の四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接している．

$a=\mathrm{AB}\text{，}$$b=\mathrm{BC}\text{，}$$c=\mathrm{CD}\text{，}$$d=\mathrm{DA}\text{，}$

$x=\mathrm{BD}\text{，}$$y=\mathrm{AC}\text{，}$$\theta =\mathrm{\angle BAD}$

とする．次の問に答えよ．

(1)　$x^2$を$a\text{，}$$d\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　次の等式を証明せよ．

$x^2={\displaystyle \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}$

(3)　次の等式を証明せよ．

$xy=ac+bd$

【２】　右の図のように，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$間の距離を$8$とする．そこに長さ$18$の輪にした糸をかけて，図のように糸をゆるまないように張りながら鉛筆を一周させる．次の問に答えよ．

(1)　鉛筆を一周させたときの点$\mathrm{P}$の軌跡の概形を図の中にかき入れよ．

(2)　(1)でかいた軌跡の名前を理由をつけて述べよ．

(3)　次にその曲線の方程式を求めたい．そのために座標軸を設定して，座標平面をきめる．ここでは，点$\mathrm{A}$を原点，直線$\mathrm{AB}$を軸，それに垂直で点$\mathrm{A}$を通る直線を$y$軸とする．点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$としたとき，根号を含まない$x\text{，}$$y$の方程式を求めよ．

(4)　直線$y={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{13}}x$と(3)の曲線の交点の座標を求めよ．

(5)　直線$y=mx-4m+5$が(3)の曲線と接するとき，$m$の値と接点の座標を求めよ．

【３】　複素数平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．方程式

$\left|z\right|=2|z-3|$

をみたす点$z$の全体が表す図形を$C$とする．次の問に答えよ．

(1)　図形$C$は円であることを証明し，中心$\mathrm{A}(\alpha )$と半径$r$を求めよ．また，原点$\mathrm{O}$は円$C$の外部にあることも証明せよ．

(2)　円$C$上の点$\mathrm{B}(\beta )$における接線が原点$\mathrm{O}$を通るとき，複素数$\beta$を求めよ．

(3)　円$C$の外部で，(2)の$2$本の接線と円で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x^2-3x+1$に対して，関数$g(x)$を

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(x-2t)f(t)\mathit{dt}$

と定義する．次の問に答えよ．

(1)　積分を計算して，関数$g(x)$を求めよ．

(2)　関数$g(x)$の増減，凹凸，極値，変曲点の表を作成せよ．

(3)　関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．

(4)　曲線$y=g(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．