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2020 神戸大学 前期

文科系

配点25点

易□ 並□ 難□

【1】  a b c p は実数とし, f( x)= x3+ ax2 +bx +c (x-p )2 で割り切れるとする.以下の問に答えよ.

(1)  b c a p を用いて表せ.

(2)  f( x) の導関数 f ( x) は, f ( p+ 43 )=0 をみたすとする. a p を用いて表せ.

(3) (2)の条件のもとで p =0 とする.曲線 y =f( x) y= f ( x) の交点を x 座標が小さい方から順に A B C とし,線分 AB と曲線 y =f (x ) で囲まれた部分の面積を S 1 線分 BC と曲線 y= f (x ) で囲まれた部分の面積を S 2 とする.このとき, S1+ S2 の値を求めよ.

2020 神戸大学 前期

文科系

配点25点

易□ 並□ 難□

【2】  n を自然数とし,数列 {a n} {b n} を次の(ⅰ),(ⅱ)で定める.

(ⅰ)  a1= b1= 1 とする.

(ⅱ)  fn (x) =an (x+ 1)2 +2b n とし, -2x 1 における f n( x) の最大値を a n+1 最小値を b n+1 とする.

以下の問に答えよ.

(1) すべての自然数 n について a n>0 かつ b n>0 であることを示せ.

(2) 数列 {b n} の一般項を求めよ.

(3)  cn= an 2n とおく.数列 {c n} の一般項を求めよ.

2020 神戸大学 前期

文科系・理科系共通

文科系は配点25点,理科系は配点30点

易□ 並□ 難□

【3】 以下の問に答えよ.

(1) 和が 30 になる 2 つの自然数からなる順列の総数を求めよ.

(2) 和が 30 になる 3 つの自然数からなる順列の総数を求めよ.

(3) 和が 30 になる 3 つの自然数からなる組合せの総数を求めよ.

2020 神戸大学 前期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【1】  α は実数とし, f( x) は係数が実数である 3 次式で,次の条件(ⅰ),(ⅱ)をみたすとする.

(ⅰ)  f( x) x3 の係数は 1 である.

(ⅱ)  f( x) とその導関数 f ( x) について,

f( α)= f (α) =0

が成り立つ.

以下の問に答えよ.

(1)  f( x) (x-α )2 で割り切れることを示せ.

(2)  f( α+2) =0 とする. f (x )=0 かつ x α をみたす x α を用いて表せ.

(3) (2)の条件のもとで α =0 とする. xy 平面において不等式

yf( x) かつ y f (x ) かつ y 0

の表す部分の面積を求めよ.

2020 神戸大学 前期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】  θ 0 <θ< π2 をみたす実数とし,原点 O A (1 ,0) B (cos 2θ, sin2 θ) を頂点とする ▵OAB の内接円の中心を P とする.また, θ がこの範囲を動くときに点 P が描く曲線と線分 OA によって囲まれた部分を D とする.以下の問に答えよ.

(1) 点 P の座標は (1- sinθ , sinθ cosθ 1+sin θ ) で表されることを示せ.

(2)  D x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.

2020 神戸大学 前期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【4】  n を自然数とし, 2n πx (2 n+ 1) π に対して f (x )= sinx x とする.以下の問に答えよ.

(1)  f( x) が最大となる x の値がただ 1 つ存在することを示せ.

(2) (1)の x の値を x n とする.このとき, limn ntanx n を求めよ.

2020 神戸大学 前期

理科系

配点30点

易□ 並□ 難□

【5】  p 2 以上の自然数とし,数列 {a n}

x1= 1 2p+ 1 xn+ 1=| 2xn -1| n=1 2 3

をみたすとする.以下の問に答えよ.

(1)  p=3 のとき, xn を求めよ.

(2)  xp+ 1=x 1 であることを示せ.

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