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2020-10601-0101
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF2頁)へ
2020 神戸大学 前期
文科系
配点25点
易□ 並□ 難□
【1】 a , b , c , p は実数とし, f⁡( x)= x3+ a⁢x2 +b⁢x +c は (x-p )2 で割り切れるとする.以下の問に答えよ.
(1) b , c を a , p を用いて表せ.
(2) f⁡( x) の導関数 f ′⁡( x) は, f′ ⁡( p+ 43 )=0 をみたすとする. a を p を用いて表せ.
(3) (2)の条件のもとで p =0 とする.曲線 y =f⁡( x) と y= f′ ⁡( x) の交点を x 座標が小さい方から順に A , B , C とし,線分 AB と曲線 y =f′ ⁡(x ) で囲まれた部分の面積を S 1, 線分 BC と曲線 y= f′⁡ (x ) で囲まれた部分の面積を S 2 とする.このとき, S1+ S2 の値を求めよ.
2020-10601-0102
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF3頁7行)へ
【2】 n を自然数とし,数列 {a n} , {b n} を次の(ⅰ),(ⅱ)で定める.
(ⅰ) a1= b1= 1 とする.
(ⅱ) fn⁡ (x) =an⁢ (x+ 1)2 +2⁢b n とし, -2≦x ≦1 における f n⁡( x) の最大値を a n+1 , 最小値を b n+1 とする.
以下の問に答えよ.
(1) すべての自然数 n について a n>0 かつ b n>0 であることを示せ.
(2) 数列 {b n} の一般項を求めよ.
(3) cn= an 2n とおく.数列 {c n} の一般項を求めよ.
2020-10601-0103
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF4頁)へ
文科系・理科系共通
文科系は配点25点,理科系は配点30点
【3】 以下の問に答えよ.
(1) 和が 30 になる 2 つの自然数からなる順列の総数を求めよ.
(2) 和が 30 になる 3 つの自然数からなる順列の総数を求めよ.
(3) 和が 30 になる 3 つの自然数からなる組合せの総数を求めよ.
2020-10601-0104
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF3頁)へ
理科系
配点30点
【1】 α は実数とし, f⁡( x) は係数が実数である 3 次式で,次の条件(ⅰ),(ⅱ)をみたすとする.
(ⅰ) f⁡( x) の x3 の係数は 1 である.
(ⅱ) f⁡( x) とその導関数 f ′⁡( x) について,
f⁡( α)= f′⁡ (α) =0
が成り立つ.
(1) f⁡( x) は (x-α )2 で割り切れることを示せ.
(2) f⁡( α+2) =0 とする. f′ ⁡(x )=0 かつ x ≠α をみたす x を α を用いて表せ.
(3) (2)の条件のもとで α =0 とする. x⁣y 平面において不等式
y≧f⁡( x) かつ y ≧f′ ⁡(x ) かつ y ≦0
の表す部分の面積を求めよ.
2020-10601-0105
【2】 θ を 0 <θ< π2 をみたす実数とし,原点 O , A (1 ,0) , B (cos⁡ 2⁢θ, sin⁡2⁢ θ) を頂点とする ▵OAB の内接円の中心を P とする.また, θ がこの範囲を動くときに点 P が描く曲線と線分 OA によって囲まれた部分を D とする.以下の問に答えよ.
(1) 点 P の座標は (1- sin⁡θ , sin⁡θ ⁢cos⁡θ 1+sin ⁡θ ) で表されることを示せ.
(2) D を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ.
2020-10601-0106
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF6頁15行)へ
【4】 n を自然数とし, 2⁢n⁢ π≦x≦ (2⁢ n+ 1)⁢ π に対して f ⁡(x )= sin⁡x x とする.以下の問に答えよ.
(1) f⁡( x) が最大となる x の値がただ 1 つ存在することを示せ.
(2) (1)の x の値を x n とする.このとき, limn→ ∞ ntan⁡x n を求めよ.
2020-10601-0107
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF7頁10行)へ
【5】 p を 2 以上の自然数とし,数列 {a n} は
x1= 1 2p+ 1 , xn+ 1=| 2⁢xn -1| ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
をみたすとする.以下の問に答えよ.
(1) p=3 のとき, xn を求めよ.
(2) xp+ 1=x 1 であることを示せ.