2020　神戸大学　後期MathJax

(1)　$f(x)=e^{4x}{\cos }^{2}x$とする．$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$において$f(x)$は増加することを示せ．

(2)　$g(x)=e^{4x}-2-\tan x$とする．$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$において方程式$g(x)=0$はただ$1$つの実数解をもつことを示せ．

$0\leqq x\leqq e-1$かつ$y\{y-\log (x+1)+a\}\leqq 0$

の表す部分の面積を$S(a)$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$S(a)$を求めよ．

(2)　$S(a)$の最小値を求めよ．

$f_n(x)={(-1)}^n\{e^{-x}-1-{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{k!}}{x}^k\}$

とする．以下の問に答えよ．

(1)　$f_{n+1}(x)$の導関数$f_{n+1}^{\prime }(x)$について，$f_{n+1}^{\prime }(x)=f_n(x)$が成り立つことを示せ．

(2)　すべての自然数$n$について，$x>0$のとき$f_n(x)<0$であることを示せ，

(3)　$a_n=1+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{k!}}$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{2n}$を求めよ．

(1)　$\mathrm{▵ACD}$は正三角形となることを示せ．

(2)　$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{E}$は同一直線上にあることを示せ．

(3)　$\mathrm{\angle AED}$の大きさを求めよ．

$x_0={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$x_k=a_k{x}_{k-1}(1-x_{k-1})$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$

で定める．ただし，$a_4=1$とする．また，$k=2\text{，}$$3\text{，}$$4$に対して，$x_k=0$となる確率を$p_k$とし，$x_k>0$となる確率を$q_k$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$p_2\text{，}$$q_2$を求めよ．

(2)　$p_3\text{，}$$q_3$を求めよ．

(3)　$p_4$を求めよ．