2020　奈良教育大学　前期MathJax

(1)　$n$を自然数とするとき，$n^3+2n$は$3$の倍数であることを証明せよ．

(2)　次の命題が真または偽であることを示せ．

「$n$を自然数とするとき，$n^2+n+41$は素数である．」

(1)　$\bar{x}<\bar{w}<\bar{y}$が成り立つことを示せ．

(2)　$a$を定数とする．このとき，

${(x_1-\bar{x}+a)}^2$$+{(x_2-\bar{x}+a)}^2$$+\cdots +{(x_m-\bar{x}+a)}^2$$=m(S_x^2+a^2)$

が成り立つことを示せ．

(3)　$S_x^2<S_w^2$が成り立つことを示せ．

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \theta$

ただし，$\left|\overrightarrow{a}\right|$はベクトル$\overrightarrow{a}$の大きさを表す．

　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を，成分を用いて表すと$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$となるとき，次の等式を示せ．

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

${\displaystyle \frac{2}{\pi }}x\leqq \sin x$

また，この不等式において等号が成立し，かつ$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすような実数$x$の値をすべて求めよ．