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2020 奈良女子大学 前期

理学部

易□ 並□ 難□

【1】  a>1 とし, f(x )=( ex-1 )( exa ) とする.以下の問いに答えよ.

(1) 関数 y=f (x ) の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べよ.また, a=2 のときの y=f (x ) のグラフをかけ.

(2)  y=f( x) のグラフと x 軸で固まれた部分の面積を a を用いて表せ.

(3)  y=f (x) のグラフの,原点での接線を l とする. l y=f (x) のグラフが原点以外で共有点をもたないような a の条件を求めよ.

2020 奈良女子大学 前期

理学部

易□ 並□ 難□

【2】  n を自然数とする. a=n( n+2) b=(n +3) (n+5 ) とする.以下の問いに答えよ.

(1)  2 a b の公約数とはならないことを示せ.

(2)  5 a b の公約数となるとき, n のみたす条件を求めよ.

(3)  5 より大きい素数は, a b の公約数とはならないことを示せ.

2020 奈良女子大学 前期

理学部

易□ 並□ 難□

【3】 空間内の 4 A B C D AB=BC =2 AC=CD=DA =1 をみたすとする.直線 BD 上に動点 P をとる.以下の問いに答えよ.

(1) 内積 AB AC を求めよ.

(2)  AB AC であることを示せ.

(3) 内積 AC AP の値は一定であることを示せ.

(4)  BD=6 のとき, cos∠CAP の最大値を求めよ.

2020 奈良女子大学 前期

生活環境学部

易□ 並□ 難□

【4】  5 の倍数でない自然数を小さいものから順に並べた列を,次のように各群が 4 つの数字を含むように群に分ける.

1,2,3 ,4 | 6,7,8, 9 | 11,12,13, 14 | 16, 1 2 3

n を自然数とする.以下の問いに答えよ.

(1) 第 n 群に入るすべての数の和を n を用いて表せ.

(2) 第 n 群に 3 の倍数が 2 つ入るような n を小さいものから順に並べた数列が初項 2 公差 3 の等差数列になることを示せ.

(3) 第 1 群から第 30 群のうち 3 の倍数がちょうど 1 つ入るような群のどれかに含まれる数すべての和を求めよ.

2020 奈良女子大学 前期

生活環境学部

易□ 並□ 難□

【5】 三角形 ABC において, AB=4a AC=a BC=b であるとする. ∠A の外角の二等分線と辺 BC の延長との交点を D とし, CD=c AD=d とする.以下の問いに答えよ.

(1)  3a<b <5a を示せ.

(2)  b=3c を示せ.

(3)  d2= 4c2 -4a2 を示せ.

(4)  a c d が自然数であるとする. d8 のとき, a b を求めよ.

2020 奈良女子大学 前期

生活環境学部

易□ 並□ 難□

【6】 座標平面上の点 P (x,y ) x> 0 y>0 に対して,原点 O と点 P を通る直線上に点 Q (s,t ) s >0 t>0 OP OQ=1 をみたすようにとる.以下の問いに答えよ.

(1)  x y s t を用いて表せ.

(2) 点 P が円 ( x-1) 2+( y-1)2 =2 の上にあるとき, s+t= 12 を示せ.

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