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2020-10631-0101
2020 奈良女子大学 前期
理学部
易□ 並□ 難□
【1】 a>1 とし, f⁡(x )=( ex-1 )⁢( ex一a ) とする.以下の問いに答えよ.
(1) 関数 y=f ⁡(x ) の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べよ.また, a=2 のときの y=f ⁡(x ) のグラフをかけ.
(2) y=f⁡( x) のグラフと x 軸で固まれた部分の面積を a を用いて表せ.
(3) y=f⁡ (x) のグラフの,原点での接線を l とする. l と y=f⁡ (x) のグラフが原点以外で共有点をもたないような a の条件を求めよ.
2020-10631-0102
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【2】 n を自然数とする. a=n⁢( n+2) , b=(n +3)⁢ (n+5 ) とする.以下の問いに答えよ.
(1) 2 は a と b の公約数とはならないことを示せ.
(2) 5 が a と b の公約数となるとき, n のみたす条件を求めよ.
(3) 5 より大きい素数は, a と b の公約数とはならないことを示せ.
2020-10631-0103
【3】 空間内の 4 点 A , B , C , D が AB=BC =2, AC=CD=DA =1 をみたすとする.直線 BD 上に動点 P をとる.以下の問いに答えよ.
(1) 内積 AB→ ⋅AC→ を求めよ.
(2) AB→⊥ AC→ であることを示せ.
(3) 内積 AC→ ⋅AP→ の値は一定であることを示せ.
(4) BD=6 のとき, cos⁡∠CAP の最大値を求めよ.
2020-10631-0104
生活環境学部
【4】 5 の倍数でない自然数を小さいものから順に並べた列を,次のように各群が 4 つの数字を含むように群に分ける.
1,2,3 ,4 | 6,7,8, 9 | 11,12,13, 14 | 16,⋯ 第1 群 第2 群 第3 群
n を自然数とする.以下の問いに答えよ.
(1) 第 n 群に入るすべての数の和を n を用いて表せ.
(2) 第 n 群に 3 の倍数が 2 つ入るような n を小さいものから順に並べた数列が初項 2 , 公差 3 の等差数列になることを示せ.
(3) 第 1 群から第 30 群のうち 3 の倍数がちょうど 1 つ入るような群のどれかに含まれる数すべての和を求めよ.
2020-10631-0105
【5】 三角形 ABC において, AB=4⁢a , AC=a , BC=b であるとする. ∠A の外角の二等分線と辺 BC の延長との交点を D とし, CD=c , AD=d とする.以下の問いに答えよ.
(1) 3⁢a<b <5⁢a を示せ.
(2) b=3⁢c を示せ.
(3) d2= 4⁢c2 -4⁢a2 を示せ.
(4) a, c, d が自然数であるとする. d≦8 のとき, a, b を求めよ.
2020-10631-0106
【6】 座標平面上の点 P (x,y ) (x> 0, y>0 ) に対して,原点 O と点 P を通る直線上に点 Q (s,t ) (s >0, t>0 ) を OP⋅ OQ=1 をみたすようにとる.以下の問いに答えよ.
(1) x, y を s , t を用いて表せ.
(2) 点 P が円 ( x-1) 2+( y-1)2 =2 の上にあるとき, s+t= 12 を示せ.