2020　鳥取大学　前期MathJax

2020-10661-0101

数学入試問題さんの解答（PDF）へ

2020　鳥取大学　前期

地域，農学部

易□　並□　難□

【１】　 $1$ から $20$ までの整数が書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつ合計 $20$ 枚ある．同時に $4$ 枚取り出し，書かれた数の小さい順に $a ，$ $b ，$ $c ，$ $d$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $a ，$ $b ，$ $c ，$ $d$ の組み合わせは全部で何通りあるか答えよ．

(2)　 $5 ≦ a + b ≦ 7$ となる確率を求めよ．

2020-10661-0102

2020　鳥取大学　前期

地域，工，医，農学部

医（医学科）学部は【１】

易□　並□　難□

【２】　平面上の $▵ABC$ において，辺 $AB$ を $1 : 2$ に内分する点を $D ，$ 辺 $BC$ を $3 : 2$ に内分する点を $E$ とし，線分 $AE$ と $CD$ の交点を $O$ とする．以下の問いに答えよ．

(1)　 $\vec{AB} = \vec{p} ，$ $\vec{AC} = \vec{q}$ とするとき， $\vec{AO}$ を $\vec{p} ，$ $\vec{q}$ を用いて表せ．

(2)　点 $O$ が $▵ABC$ の外接円の中心となるとき， $3$ 辺 $AB ，$ $BC ，$ $CA$ の長さの $2$ 乗の比を求めよ．

2020-10661-0103

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2020　鳥取大学　前期

地域，農学部

易□　並□　難□

【３】　長さ $60 cm$ の針金がある．これを $2$ 本に切ってそれぞれを折り曲げて，一つは正方形を作り，もう一つは長辺の長さが短辺の $2$ 倍となる長方形を作る．この正方形と長方形の周の長さの和を $60 cm$ とし，それぞれの面積の和を $S$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，針金の太さは無視するものとする．

(1)　 $S$ が最小となるとき，長方形の針金の長さを求めよ．

(2)　 $S$ が $108 {cm}^{2}$ 以上になるための，長方形の針金の長さの範囲を求めよ．

2020-10661-0104

2020　鳥取大学　前期

地域，農学部

易□　並□　難□

【４】　自然数 $n$ に対して，直線 $x + 4 y = 4 n ，$ $x = 0 ，$ $y = 0$ で囲まれる三角形の周および内部にある点で， $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点の個数を求めよ．

2020-10661-0105

2020　鳥取大学　前期

工，医（生命科，保健学科）学部

易□　並□　難□

【１】　正の実数 $p ，$ $q$ $（ p > 1 ）$ と定数 $a$ に対して，数列 ${x_{n}}$ が

$x_{1} = a ，$ $x_{n + 1} = \frac{p - １}{p} x_{n} + q$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

で定められるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　一般項 $x_{n}$ を求めよ．

(2)　 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ を求めよ．

(3)　 $p = 10 ．$ $q = \frac{1}{10} ．$ $a = 0$ のとき， $x_{2} ，$ $x_{3} ，$ $x_{4}$ を求めよ．

(4)　 $p = 10 ，$ $q = \frac{1}{10} ，$ $a = 0$ のとき， $x_{n} > 0.99$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ．必要があれば， $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いてよい．

2020-10661-0106

2020　鳥取大学　前期

工，医学部

医（医学科）学部は【２】

易□　並□　難□

【３】　微分可能な $x$ の関数 $f (x)$ が任意の実数 $x ，$ $y$ に対して次の関係を満たすとき，以下の問いに答えよ．

$f (- x) = - f (x)$

${f (x)}^{2} + {f^{'} (x)}^{2} = 1$

$f^{'} (x + y) = f^{'} (x) f^{'} (y) - f (x) f (y)$

$f^{'} (0) = 1$

(1)　 $f (0)$ を求めよ．

(2)　 $f^{'} (x)$ は偶関数であることを証明せよ．

(3)　 $f^{'} (u) - f^{'} (v) = - 2 f (\frac{u + v}{2}) f (\frac{u - v}{2})$ を証明せよ．

(4)　 $f^{'} (x)$ が微分可能であることを示し， $f^{″} (x) = - f (x)$ を証明せよ．

2020-10661-0107

2020　鳥取大学　前期

工，医学部

医（医学科）学部は【３】

易□　並□　難□

【４】　正の実数 $a$ に対して，半円 $x^{2} + {(y - a)}^{2} = a^{2}$ $（ x ≧ 0 ）$ がある．この半円に外接しかつ $x$ 軸に接する円の中心を $P$ $(x, f (x))$ とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　 $f (x)$ を求めよ．

(2)　この半円と曲線 $y = f (x) ，$ 直線 $x = a$ とに囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ．

(3)　この半円と曲線 $y = f (x) ，$ 直線 $x = a$ とに囲まれる図形が， $x$ 軸の周りに一回転してできる回転体の体積 $V$ を求めよ．

2020-10661-0108

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2020　鳥取大学　前期

医（医学科）学部

易□　並□　難□

【４】　次の条件で定められる数列を ${a_{n}}$ とする．

$a_{1} = 0 ，$ $a_{n + 1} = \log (a_{n} + 2)$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

以下の問いに答えよ．

(1)　方程式 $\log (x + 2) = x$ が $2$ 個の実数解 $b ，$ $c$ $（ b < c ）$ を持つことを示し， $m ≦ b < m + 1 ，$ $n ≦ c < n + 1$ を満たす整数 $m ，$ $n$ を求めよ．ただし，自然対数の底 $e$ について， $\frac{5}{2} < e < 3$ が成り立つことを用いてよい．

(2)　実数 $s ，$ $t$ が $- 2 < s < t$ を満たすとき， $\frac{\log (t + 2) - \log (s + 2)}{t - s}$ と $\frac{1}{s + 2}$ の大小関係を調べよ．

(3)　 $c$ は(1)で定義した数とする． $| \frac{a_{n + 1} - c}{a_{n} - c} |$ と $\frac{1}{2}$ の大小関係を調べよ．

(4)　 $c$ は(1)で定義した数とする． $\lim_{n \to \infty} a_{n} = c$ であることを示せ．