2020　島根大学　前期MathJax

(1)　直線$g_1$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{q}$とするとき，

$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{p}+2(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{a}-\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{n}$

であることを示せ．

(2)　(1)の点$\mathrm{Q}$と直線$g_2$に関して対称な点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{r}$とするとき，$\overrightarrow{r}$を$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{n}$を用いて表せ．

(1)　$l_0$の方程式を求めよ．

(2)　$l_0$と$l$が直交するとき，$b$を$a$を用いて表せ．

(3)　$l_0$と$l$が直交するとき，曲線$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq b\text{）}$と$2$直線$l_0\text{，}$$l$で囲まれた図形の面積$S(a)$を$a$を用いて表せ．

(4)　$S(a)$を(3)と同じとする．$S(a)$の最小値を求めよ．

自然数$n$に対し，すべての位の数字が$1$である$n$桁の自然数を$a_n$とおく．例えば，$a_1=1\text{，}$$a_2=11\text{，}$$a_3=111$であり，すべての$n$に対して

$a_n=1+10+{10}^2+\cdots +{10}^{n-1}$$={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{10}^k$

である．次の問いに答えよ．

(1)　ユークリッドの互除法を用いて，$12345$と$54321$の最大公約数を求めよ．

(2)　$m>n$をみたす自然数$m$と$n$に対し，等式$a_m-a_n={10}^n{a}_{m-n}$が成り立つことを示せ．

(3)　すべての自然数$n$に対し，$a_n$と$10$は互いに素である．このことと(2)の結果を用いて，$m>n$をみたす自然数$m$と$n$に対し，$\gcd (a_m,a_n)=\gcd (a_n,a_{m-n})$が成り立つことを示せ．

(4)　$m>n$をみたす自然数$m$と$n$の最大公約数を$d$とすると，$a_m$と$a_n$の最大公約数は$a_d$であることを示せ．ただし，必要であれば，枠で囲まれたユークリッドの互除法の説明文で使用されている記号を用いてもよい．

(5)　(1)と(4)を用いて，$a_{12345}$と$a_{54321}$の最大公約数を求めよ．

(1)　円$C_1$が原点を通るとき，円$C_1$の中心と半径を求めよ．

(2)　定数$a$の値にかかわらず円$C_1$は定点$\mathrm{A}$を通る．この定点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(3)　円$C_2$と円$C_3$の$2$つの交点と原点を通る円の中心と半径を求めよ．

(1)　$c_2\text{，}$$c_3$を求めよ．

(2)　$p(k+1,n+2)$を$p(k,n+1)$と$p(k,n)$を用いて表せ．

(3)　$c_{n+2}$を$c_{n+1}$と$c_n$を用いて表せ．

(4)　漸化式

$c_{n+2}-\alpha c_{n+1}=\beta (c_{n+1}-\alpha c_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたす実数の組$(\alpha ,\beta )$を$2$つ求めよ．

(5)　数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(1)　$x>0$のとき，不等式$2\sqrt{x}>\log x$を証明せよ．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x+1}}$を求めよ．

(3)　$a$は正の定数で，不等式${\displaystyle \frac{\log x}{x+1}}\leqq \log {\displaystyle \frac{ax}{x+1}}$がすべての正の数$x$に対して成り立つとする．このとき，$a$の値の範囲を求めよ．

(4)　等式${\displaystyle {\int }_1^2}\log {\displaystyle \frac{ax}{x+1}}\mathit{dx}=2{\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}\mathit{dx}$が成り立つような正の数$a$を求めよ．

(1)　$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　点$\mathrm{R}$の座標を$k$を用いて表せ．

(3)　$k$が(1)で求めた範囲を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }x\sin x\mathit{dx}$と${\displaystyle \int }{x}^2\sin x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$が

$f(x)=(x^2+2)\sin z+{\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}g(t)\mathit{dt}$

$g(x)=(-2x+\pi )\sin x-{\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(t)\mathit{dt}$

をみたすとき，$f(x)\text{，}$$g(x)$を求めよ．