2020　島根大学　後期総合理工学部MathJax

$p_n={\displaystyle \frac{2p_{n-1}-\sqrt{5}{q}_{n-1}}{6}}\text{，}$$q_n={\displaystyle \frac{\sqrt{5}{p}_n+2q_{n-1}}{6}}$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n}\right|$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$$(x,y)$が単位円$x^2+y^2=1$上を一周するとき，内積$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値$a_n$と最小値$b_n$を求めよ．

(3)　(2)の$a_n$と$b_n$を用いて，数列$\{c_n\}$を

$c_n=\{\begin{array}{cc}{a}_n& \text{（}n\text{が奇数のとき）}\\ b_n& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\end{array}$

によって定めるとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{c}_n$の和を求めよ．

(1)　直線$\mathrm{OC}\text{，}$$\mathrm{KB}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{▵OHB}$と$\mathrm{▵CHB}$は合同であることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$となる実数$s\text{，}$$t$の値を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OL}}=u\overrightarrow{a}+v\overrightarrow{b}$となる実数$u\text{，}$$v$の値を求めよ．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OL}}\right|$の値を求めよ．

$x=2\sqrt{2}\sin t\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2t$

とする．$C$を$y=-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$で与えられる曲線とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度$({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}},{\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}})$を$t$を用いて表せ．

(2)　$0\leqq t\leqq \pi$の範囲で，点$\mathrm{P}$が曲線$C$上にある時刻$t$をすべて求めよ．

(3)　$t$が$0$から$\pi$まで動くとき，点$\mathrm{P}$が初めて曲線$C$上にある時刻と次に$C$上にある時刻との間に動いた道のりを求めよ．