2020　島根大学　推薦I総合理工（数理科学科）学部MathJax

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易□　並□　難□

(1)　 $1$ から $2020$ までの整数のうち， $6$ でも $8$ でも割り切れない数の個数を求めよ．

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(2)　 $a ，$ $b$ は整数とする．方程式 $x^{2} + a x + b = 0$ が $- 2 < x < 0$ と $1 < x < 2$ にそれぞれ $1$ つずつ実数解を持つような $(a, b)$ の組をすべて求めよ．

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(3)　関数 $x \sqrt{x^{2} + 1}$ を微分せよ．

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(4)　関数 $\log (x + 1)$ の不定積分を求めよ．ただし $\log$ は自然対数とする．

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(1)　 $S_{6} ，$ $s_{6}$ の値を求めよ．

(2)　 $S_{n} ，$ $s_{n}$ を $n$ の式で表せ．

(3)　 $\lim_{n \to \infty} S_{n} ，$ $\lim_{n \to \infty} s_{n} ，$ $\lim_{n \to \infty} n^{2} (S_{n} - s_{n})$ を求めよ．

(4)　 $\tan \frac{π}{12}$ の値を求め， $π < 3.24$ であることを示せ．ただし $\sqrt{3} > 1.73$ であることは用いてよい．

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(1)　関数 $f (x)$ の増減，凹凸を調べてそのグラフを描け． $\lim_{x \to \infty} f (x) = 0$ であることは用いてもよい．

(2)　 $a$ を実数とするとき，方程式 $f (x) = a$ の解の個数を調べよ．

(3)　曲線 $y = f (x)$ を $C ，$ 原点における曲線 $C$ の接線を $l$ とする．曲線 $C ，$ 直線 $l$ および直線 $x = 2$ で囲まれる図形の面積を求めよ．

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易□　並□　難□

$\vec{a} = (1, 1) ，$ $\vec{b} = (\cos x, \sin x) ，$ $\vec{c} = (\cos y, \sin y)$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $\vec{a} + \vec{b}$ の大きさの最大値，最小値を求めよ．

(2)　位置ベクトルが $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b}$ で表される点 $P$ $（ \vec{p} ）$ はどのような範囲にあるか述べよ．

(3)　位置ベクトルが $\vec{q} = \vec{b} + 3 \vec{c}$ で表される点 $Q$ $（ \vec{q} ）$ はどのような範囲にあるか図示せよ．

(4)　 ${(\cos x + 3 \cos y + 2)}^{2} + {(\sin x + 3 \sin y + 2)}^{2}$ の最大値，最小値を求めよ．