2020　岡山大学　前期MathJax

【１】　$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$から等しい確率で数を選ぶ試行を考える．この試行を繰り返すとき，第$n$回目で選んだ数を$r_n$とおく．数列$\{a_n\}$を

$a_1=1$

$a_{n+1}=r_n{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_4=24$となる確率を求めよ．

(2)　$a_6=24$となる確率を求めよ．

(3)　$n\geqq 6$とし$a_n=24$となる確率を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を整数とし，$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$を考える．ただし$a\ne 0$である．$\left|x\right|\leqq 1$を満たすすべての実数$x$に対して$|f(x)|\leqq 1$が成り立つとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$f(1)\text{，}$$f(-1)\text{，}$$f(0)$を用いて表せ．

(2)　$f(x)$をすべて求めよ．

【３】　$a$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面において$C$を$x^2-4x+y^2-4y-1=0$で表される円とし，$l$を$3x-4y+a=0$で表される直線とする．点$\mathrm{P}$を円$C$の中心とする．以下の問いに答えよ．

(1)　円$C$の半径と中心$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　円$C$と直線$l$の共有点の個数を求めよ．

(3)　$a>0$とし，直線$l$が円$C$と接しているとする．直線$l$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$をとる．このとき$\tan \mathrm{\angle POQ}$を求めよ．

【４】　$s$を実数とする．等式

$f(x)=|x^2-x|-s-{\displaystyle {\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}}x\{f(t)-\left|t\right|\}\mathit{dt}$

を満たす関数$f(x)$が与えられたとする．以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸が異なる$3$点で交わる$s$の値の範囲を求めよ．

(3)　$s$が(2)で求めた範囲にあるとする．$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積$A(s)$を求めよ．

(4)　(3)における$A(s)$の最小値を与える$s$を求めよ．

【１】　$x$と$y$をそれぞれ自然数とする．袋$\mathrm{A}$には白玉$2$個，赤玉$3$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$x$個，赤玉$y$個が入っている．袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，よくかき混ぜて袋$\mathrm{B}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．このとき袋$\mathrm{A}$の白玉の個数がはじめと変わらない確率を$p$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$x=10\text{，}$$y=23$のとき$p$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$p$を与える$x\text{，}$$y$の組で$1\leqq x\leqq 1000\text{，}$$1\leqq y\leqq 1000$となるものが何組あるかを求めよ．

【２】　$0$でない複素数$\alpha$は$|\alpha -i|=1$を満たすとする．また$\alpha$の偏角$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\left|\alpha \right|$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\beta =-\alpha +2i$とおく．$\beta$の偏角$\arg \beta$をを用いて表せ．ただし$0\leqq \arg \beta <2\pi$とする．

(3)　$\beta$は(2)で与えられたものとする．複素数平面において実軸上に点$\mathrm{P}\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)$をとる．$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{P}\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)$が一直線上にあるとき$\theta$の値を求めよ．

【３】　$xyz$空間における$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0\mathrm{,}0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{E}$$(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{F}$$(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{G}$$(0,1,1)$を頂点とする立方体を考える．点$\mathrm{P}$は時刻$t=0$に原点$\mathrm{O}$を出発し毎秒$1$の速さで正方形$\mathrm{OABC}$の周上を点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}\text{，}$点$\mathrm{C}$の順に一周する．点$\mathrm{Q}$は時刻$t=0$に点$\mathrm{D}$を出発し毎秒$1$の速さで正方形$\mathrm{DEFG}$の周上を点$\mathrm{D}\text{，}$点$\mathrm{G}\text{，}$点$\mathrm{F}\text{，}$点$\mathrm{E}$の順に一周する．線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形と正方形$\mathrm{OABC}\text{，}$正方形$\mathrm{DEFG}$によって囲まれる立体を$K$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a$は$0\leqq a<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たすとする．平面$z=a$によって立体$K$を切ったときの切り口の面積を求めよ．

(2)　立体$K$の体積を求めよ．

【４】　$a$を正の数とする．$xy$平面において，点$\mathrm{A}$$(a,0)$をとり，$C_1$を双曲線$x^2-4y^2=-4$とし，$C_2$を双曲線$x^2-4y^2=4$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が$C_1$上にあるとする．このとき$\mathrm{AP}$を最小にする点$\mathrm{P}$とその最小値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$C_2$上にあるとする．このとき$\mathrm{AP}$を最小にする点$\mathrm{P}$とその最小値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$C_1$または$C_2$上にあるとする．このとき点$(2,0)$が，$\mathrm{AP}$の最小値を与える点$\mathrm{P}$となるような$a$の値の範囲を求めよ．