2020　広島大学　AO入試教育学部数理系MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1))　$p<q$を満たす二つの有理数$p$と$q$に対し，$p<r<q$を満たす有理数$r$が必ず存在することを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$0$でない二つの複素数$z_1$と$z_2$の極形式を，$z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)\text{，}$$z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$とする．このとき，

${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}={\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}\{\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)\}$

が成り立つことを示せ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　方程式$z^4=-32-32\sqrt{3}i$の解を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$\mathrm{▵OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$\mathrm{▵OAB}$の面積は，${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-{(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})}^2}$であることを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，

${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2=2({\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{BM}}^2)$

が成り立つことを，内積を利用して示せ．

【２】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=4\text{，}$$(n+1)(n+3)a_{n+1}+(n+2)(n+4)a_n=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{(n+1)(n+3)}}$で定めるとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{c_n\}$を$c_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$で定めるとき，数列$\{c_n\}$の初項から第$2n$項までの和$S_{2n}$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{2n}$を求めよ．

(4)　$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{2n}$とおくとき，$|S_{2n}-S|<0.0001$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底で，自然数$n$に対して，$n!$は$n$の階乗とする．

(1)　$x\geqq 0$のとき，すべての自然数$n$に対して

$e^x>{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$t\geqq 1$で定義された関数$F(t)$を

$F(t)={\displaystyle {\int }_1^t}{e}^{-x^2}{x}^{\sqrt{103}-1}\mathit{dx}$

0

で定める．$t\geqq 1$のとき，

$F(t)<6!$

が成り立つことを示せ．