2020　広島大学　AO入試理学部数学科MathJax

【１】　$b\text{，}$$c$を$0\leqq b^2\leqq 4c$を満たす実数とする．$2$次方程式

$x^2+bx+c=0$

の解で虚部が$0$以上のものを$z$とする．また，$2$次方程式

$1+bx+c{x}^2=0$

の解で虚部が$0$以下のものを$w$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$z$と$w$の積を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{w}{z}}$の偏角が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるとき，$b$を$c$を用いて表せ．

(3)　$c=4$として$b$が$0<b<4$の範囲で変化するとき，点$\mathrm{P}(z)\text{，}$点$\mathrm{Q}(w)$の軌跡を一つの複素数平面上に描け．

【２】　$r$を実数とする．数列$\{a_n\}$が，初項$a_1=1\text{，}$漸化式$a_{n+1}=r{a}_n$を満たすとする．$N$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\{a_n\}$の初稿から第$N$項までの値の平均値を求めよ．

(2)　$N$が奇数のとき，$\{a_n\}$の初稿から第$N$項までの値の中央値を求めよ．ただし中央値とは，$N$個の値を大きい順に並べたとき，中央にくる値である．

【３】　$x^2-y^2=1$$\text{（}x>0\text{）}$で定まる座標平面上の曲線を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　正の数$p\text{，}$$q$が$p^2-q^2=1$を満たすとする．点$(p,q)$における，$C$の法線を$L$とする．$L$の方程式を求めよ．

(2)　(1)の法線$L$と$x$軸との交点の座標を$p$を用いて表せ．

(3)　$a>1$とする．点$(a,0)$を通る曲線$C$の法線をすべて求めよ．

(4)　$b\text{，}$$r$を正の定数とし，$(x,y)$を座標平面上の点とする．次の二つの命題$P\text{，}$$Q$を考える．

$P$：$(x,y)$が${(x-b)}^2+y^2<r^2$を満たす．

$Q$：$(x,y)$が$x^2-y^2>1$を満たす．

$P$が$Q$の十分条件になるために，$b\text{，}$$r$が満たすべき条件を求めよ．

【４】　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5\text{，}$$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BO}=4$であるとし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$\mathrm{I}$を三角形$\mathrm{OAB}$の内心とし，$\mathrm{AI}$の延長と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{BI}$の延長と辺$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{E}$とする．線分$\mathrm{EA}$上に点$\mathrm{P}$があるとし，$\mathrm{PI}$の延長と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=p\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=q\overrightarrow{b}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{PI}:\mathrm{IQ}=1-t:t$とおく．$p\text{，}$$q$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を(2)の$t$を用いて表せ．

(4)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{EA}$上を動くとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積がとりうる値の最大値と最小値を求めよ．

【５】　$n$を自然数とする．サイコロを$n$回投げて出た目のうち，最大のものを$M\text{．}$最小のものを$L$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$L=2$となる確率を求めよ．

(2)　$M=L+1$となる確率を求めよ．

(3)　$M=2L$となる確率を求めよ．