2020　山口大学　後期理学部数理科学科MathJax

【１】　$a$を$1$より大きい実数とする．$xy$平面において，直線$x=a\text{，}$曲線$y=\sqrt{1-x^2}$$\text{（}-1<x<1\text{）}$を，それぞれ，$I\text{，}$$C$とする．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線と直線$l$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{Q}$の$y$座標を$t$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{Q}$を中心とし$\mathrm{P}$を通る円は，$\mathrm{P}$の位置に関係なく定点を通ることを示しなさい．

【２】　$n$は$3$以上の自然数，$C_1$は平面上の半径$1$の円とする．$D_1$を$C_1$に内接し次の$3$つの条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)をすべて満たす$n$個の円の組とする．

(ⅰ)　すべての円の半径が等しい．

(ⅱ)　どの$2$円も$2$点で交わらない．

(ⅲ)　どの円も$2$つの円と外接する．

次に，$D_1$の円すべてに外接する円を$C_2$とし，$D_2$を$C_2$に内接し(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)をすべて満たす$n$個の円の組とする．同様に，$k=3\text{，}$$4\text{，}$$\cdots$に対して，$D_{k-1}$の円すべてに外接する円$C_k$とそれに内接する$n$個の円の組$D_k$を考える．例えば$n=7$の場合，図１の破線で描かれた円$C_1$に対して実線で描かれた$7$つの円の組は$D_1$の例である．また，図２の点線で描かれた円が$C_2\text{，}$その内部にある実線で描かれた$7$つの円の組が$D_2$の例である．

$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$に対して$D_k$の円の面積の総和を$S_k$と表すとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$D_1$の$1$つの円の半径を$r_1$とするとき，$r_1$を$n$を用いて表しなさい．

(2)　$C_2$の半径を$R_2\text{，}$$D_2$の$1$つの円の半径を$r_2$とするとき，$R_2$と$r_2$をそれぞれ$n$を用いて表しなさい．

(3)　$C_k$の半径を$R_k\text{，}$$D_k$の$1$つの円の半径を$r_k$とするとき，$R_k$と$r_k$をそれぞれ$k$と$n$を用いて表しなさい．

(4)　無限級数の和${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{S}_k$を$T_n$とおく．$T_n$を$n$を用いて表しなさい．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$を求めなさい．

【３】　$n$は正の整数とし，$f(x)$を整数を係数とする$n$次式とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$c$を整数とし，

$f(x+c)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}$$+\cdots +a_{1}x+a_0$$\text{（}{a}_n\text{，}{a}_{n-1}\text{，}\cdots \text{，}{a}_1\text{，}{a}_0\text{は整数）}$

とおくとき，

$a_0=f(c)\text{，}$$a_1=f^{\prime }(c)$

が成り立つことを示しなさい．

(2)　$p$を素数とする．$f(c)$が$p$の倍数であり，かつ，$f^{\prime }(c)$が$p$の倍数でないような整数$c$が存在するとき，

$k{f}^{\prime }(c)+{\displaystyle \frac{f(c)}{p}}$

が$p$の倍数となるような整数$k$が存在することを示しなさい．

(3)　(2)の$c\text{，}$$k\text{，}$$p$に対し，$f(kp+c)$は$p^2$の倍数であることを示しなさい．

(4)　$f(x)=x^7+4x^5+4x^2+2$とする．このとき，$f(m)$が$121$の倍数になる整数$m$を$1$つ求めなさい．