2020　山口大学　後期理学部物理情報科学科MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)=x\sqrt{x^2+1}+\log (z+\sqrt{x^2+1})$を微分しなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　等式${\log }_x(y-2)+1=2{\log }_{x^2}(y+7)$を満たす自然数$x\text{，}$$y$の組$(x,y)$をすべて求めなさい．

【２】　$\mathrm{P}$を三角形$\mathrm{ABC}$の内部の点とする．三角形$\mathrm{PBC}\text{，}$$\mathrm{PCA}\text{，}$$\mathrm{PAB}$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　等式$2\overrightarrow{\mathrm{PA}}+3\overrightarrow{\mathrm{PB}}+4\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$が成り立つとき，点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ABC}$に対してどのような位置にあるか求めなさい．また，$S_1:S_2:S_3=2:3:4$であることを示しなさい．

(2)　$S_1:S_2:S_3=2:3:4$ならば，等式$2\overrightarrow{\mathrm{PA}}+3\overrightarrow{\mathrm{PB}}+4\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$が成り立つことを示しなさい．

【３】　右図において，$3$つの円$O_1\text{，}$$O_2\text{，}$$O_3$の中心は一直線上にあり，$O_2$は$O_1\text{，}$$O_3$とそれぞれ外接している．直線$\mathrm{AB}$は$O_1\text{，}$$O_2$にそれぞれ点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で接しており，直線$\mathrm{CD}$は$O_2\text{，}$$O_3$にそれぞれ点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$で接している．$O_1\text{，}$$O_2\text{，}$$O_3$の半径をそれぞれ${\displaystyle \frac{10+\sqrt{2}}{4}}\text{，}$$10+\sqrt{2}\text{，}$$10-\sqrt{2}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さを求めなさい．

(2)　弧$\mathrm{BC}$の長さを求めなさい．ただし，弧$\mathrm{BC}$の中心角は鋭角とする．

【４】　次の問いに答えなさい．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}\sqrt{1-x^2}\mathit{dx}$を求めなさい．

(2)　座標平面上の曲線$C$が，媒介変数$t$を用いて

$x=\sin 2t\text{，}$$y={\sin }^{2}t$$(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{5}{12}}\pi )$

で表されているとき，次の問いに答えなさい．

(ⅰ) $\theta =2t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とおくとき，${\sin }^{2}t$を$\sin \theta$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　$t={\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$のときの$C$上の点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

(ⅲ)　座標平面上に$C$の概形をかきなさい．

(ⅳ)　$C$と線分$\mathrm{OP}$で囲まれた部分の面積を求めなさい．ここで，$\mathrm{O}$は座標平面の原点を表す．