2020　徳島大学　前期MathJax

2020-10761-0101

数学入試問題さんの解答(PDF)へ

2020　徳島大学　前期

理工，医（保健学科）学部

易□　並□　難□

【１】　複素数 $z = x + y i$ について，次の問いに答えよ．ただし， $x ，$ $y$ は実数， $i$ は虚数単位とする．

(1)　不等式 $| z + 1 | ≦ 1$ の表す領域を複素数平面上に図示せよ．

(2)　不等式 $| \frac{1}{z} + 1 | ≦ 1$ の表す領域を複素数平面上に図示せよ．

(3)　(1)の領域と(2)の領域の共通部分の面積を求めよ．

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2020　徳島大学　前期

理工，医（保健学科）学部

易□　並□　難□

【２】　 $2$ つの数列 ${a_{n}} ，$ ${b_{n}}$ は次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たす．

(ⅰ)　 $a_{1} = 1 ，$ $a_{2} = 2 ，$ $b_{1} = 2 ，$ $b_{2} = - 1$

(ⅱ)　 ${a_{n} + b_{n}}$ は等差数列かつ ${a_{n} - b_{n}}$ は等比数列

次の問いに答えよ．

(1)　数列 ${a_{n} + b_{n}} ，$ ${a_{n} - b_{n}}$ の一般項を求めよ．

(2)　数列 ${a_{n}} ，$ ${b_{n}}$ の一般項を求めよ．

(3)　 $n ≧ 2$ のとき， $a_{n} b_{n} < 0$ となることを示せ．

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2020　徳島大学　前期

理工，医（保健学科）学部

易□　並□　難□

【３】　関数 $f (x) = x^{2} - | 2 x - 1 |$ に対し， $y = f (x)$ のグラフと $2$ 点で接する接線を $l$ とする．次の問いに答えよ．

(1)　接線 $l$ の方程式および $2$ つの接点の $x$ 座標 $α ，$ $β$ $（ α < β ）$ を求めよ．

(2)　関数 $g (x) = x \sqrt{x^{2} + 1} + \log (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ に対し， $g^{'} (x) = a \sqrt{x^{2} + 1}$ を満たす定数 $a$ を求めよ．

(3)　(1)で求めた $α ，$ $β$ に対し，曲線 $y = f (x)$ $（ α ≦ x ≦ β ）$ の長さ $L$ を求めよ．

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2020　徳島大学　前期

理工，医（医，保健学科），歯，薬学部

医（医学科），歯，薬学部は【１】

易□　並□　難□

【４】　座標空間の $4$ 点 $A$ $(0, 3, 2) ，$ $B$ $(2, - 2, 0) ，$ $C$ $(1, 2, 2) ，$ $D$ $(- 1, - 3, 3)$ を頂点とする四面体 $ABCD$ がある．

(1)　 $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ のなす角を $θ$ として $\cos θ$ を求めよ．

(2)　 $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．

(3)　 $3$ 点 $A ，$ $B ，$ $C$ が定める平面を $α$ とする．点 $D$ から平面 $α$ に垂線 $DH$ を引くとき，点 $H$ の座標を求めよ．

(4)　四面体 $ABCD$ の体積を求めよ．

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2020　徳島大学　前期

医（医学科），歯，薬学部

易□　並□　難□

【２】　曲線 $y = x^{2}$ を $C$ とし， $C$ 上の点 $P$ $(t, t^{2})$ $（ t > 0 ）$ における法線を $l$ とする．また， $l$ と $C$ の $2$ つの交点のうち $P$ 以外の交点を $Q$ とする．

(1)　法線 $l$ の方程式を求めよ．

(2)　 $2$ 点 $P ，$ $Q$ 間の距離を $t$ を用いて表せ．

(3)　 $t$ が $t > 0$ の範囲を動くとき， $2$ 点 $P ，$ $Q$ 間の距離の最小値を求めよ．

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2020　徳島大学　前期

医（医学科），歯，薬学部

易□　並□　難□

【３】　表と裏に数字が書かれた $10$ 枚のコインが袋の中にある． $10$ 枚のコインの表の数字 $a ，$ 裏の数字 $b$ の組 $(a, b)$ は，それぞれ以下の通りである．

$(1, 1) ，$ $(1, 2) ，$ $(1, 3) ，$ $(1, 4) ，$ $(2, 2) ，$ $(2, 3) ，$ $(2, 4) ，$ $(3, 3) ，$ $(3, 4) ，$ $(4, 4)$

袋の中から $n$ 枚のコインを取り出して投げる．出た面に書かれた $n$ 個の数字の和を $s$ とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $n = 2$ のとき， $s = 2$ となる確率を求めよ．

(2)　 $n = 2$ のとき， $s = 4$ となる確率を求めよ．

(3)　 $n = 3$ のとき， $s = 5$ となる確率を求めよ．

(4)　 $n = 3$ のとき， $s = k$ となる確率が最大になる自然数 $k$ をすべて求め，そのときの確率を求めよ．

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2020　徳島大学　前期

医（医学科），歯，薬学部

易□　並□　難□

【４】　公差が正の数 $d$ である等差数列 ${a_{n}}$ に対し，初項 $a_{1}$ から第 $n$ 項 $a_{n}$ までのすべての項が素数であるとき $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ を項数 $n ，$ 公差 $d$ の等差素数列という． $100$ 以下の素数は次の $25$ 個である．

$2 ，$ $3 ，$ $5 ，$ $7 ，$ $11 ，$ $13 ，$ $17 ，$ $19 ，$ $23 ，$ $29 ，$ $31 ，$ $37 ，$ $41 ，$ $43 ，$ $47 ，$ $53 ，$ $59 ，$ $61 ，$ $67 ，$ $71 ，$ $73 ，$ $79 ，$ $83 ，$ $89 ，$ $97$

(1)　 $a_{3} ≦ 100$ を満たす項数 $3 ，$ 公差 $30$ の等差素数列 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ をすべて求めよ．

(2)　 $n ≧ 2$ かつ $a_{1} > 2$ のとき，等差素数列 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ の和 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ は合成数であることを示せ．

(3)　 $n ≧ 3$ かつ $a_{1} > 3$ のとき，等差素数列 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ の公差は $6$ の倍数であることを示せ．

(4)　 $n ≧ 3$ かつ $a_{1} > 3$ のとき， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 100$ を満たす項数 $n$ の等差素数列 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ を求めよ．

2020 徳島大学 前期MathJax

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