2020　鳴門教育大学　前期MathJax

【１】　$2$次関数$y=2x^2-4ax+2a$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$は，$x=2$で最大になり，最大値と最小値の差が$4$になります．定数$a$の値を求めなさい．

【２】　$xy$平面上の点$\mathrm{P}$$(x,y)$に対し，$x\text{，}$$y$がともに整数となる点を格子点といいます．方程式$y={\displaystyle \frac{3}{7}}x-{\displaystyle \frac{23}{7}}$が表す直線を$l$とします．

(1)　$l$上の格子点のうち，点$\mathrm{A}$$(-7,-2)$に最も近い点の座標を求めなさい．

(2)　$l$上の格子点のうち，原点からの距離が$20$以下となる点の個数を求めなさい．

【３】　平面上の線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CD}$が点$\mathrm{P}$で交わり，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のどれとも異なるとします．また，三角形$\mathrm{PAC}$と三角形$\mathrm{PBD}$の外心をそれぞれ$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{O}}^{\prime }$とし，直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{DB}$は平行であるとします．

(1)　三角形$\mathrm{PAC}$の外接円と三角形$\mathrm{PBD}$の外接円の共有点が$\mathrm{P}$のみであることを示しなさい．

(2)　直線$\mathrm{AO}$と直線$\mathrm{B}{\mathrm{O}}^{\prime }$は平行であることを示しなさい．

【４】　重解ではない$2$つの実数解をもつ$2$次方程式$x^2+ax+b=0$があります．また，$a\text{，}$$b$のうち，少なくとも$1$つは$0$以外の有理数であるとします．この方程式の実数解のうち，$1$つだけが無理数となることはありますか．あるならばその方程式と実数解の値を求め，ないならばないことを証明しなさい．

【５】　さいころを$3$回投げて出た目の数を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とします．座標が$(a,b)\text{，}$$(b,c)\text{，}$$(c,a)$である平面上の点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$で表します．

(1) $3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を頂点とする三角形ができる確率を求めなさい．

(2)　$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$である三角形ができる確率を求めなさい．