2020　香川大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$としたとき，条件

$5a_n=2S_n-2n+3$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立っているとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2$の値を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．

(3)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　$S_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　面積が$1$である三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$上にそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$を

$\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=\mathrm{CF}:\mathrm{FA}=t:(1-t)$

となるようにとる．ただし，$0<t<1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ADF}$の面積を$t$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S$とするとき，$S$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{BF}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{AG}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{H}$が一致するときの$t$の値を求めよ．

【３】　関数$f(x)=2|x-2|-4$について，次の問に答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　関数$y=|f(x)|$のグラフをかけ．

(3)　(2)で求めたグラフが，直線$y=kx+2$と相異なる$4$点で交わるような実数$k$の範囲を求めよ．

【４】　$3$次関数$y=f(x)$のグラフは原点で$x$軸に接するものとする．さらにこのグラフは点$(-1,f(-1))$において傾き$1$の直線$l$と接し，点$(1,f(1))$で$l$と交わるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

【５】　曲線$y=\sin x$上の点$(0,0)$における接線を$l$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$y=\sin x$と接線$l$と直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた図形を図示し，この図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【２】　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，$xy$平面において連立不等式

$\{\begin{array}{l}{(x-\cos \alpha )}^2+y^2\leqq 1\\ {(x+\cos \alpha )}^2+y^2\leqq 1\end{array}$

の表す領域を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，この領域$D$を図示せよ．

(2)　$D$の面積を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$\alpha$を用いて表せ．

【３】　楕円$C\text{：}{x}^2+9y^2=1$と直線$l\text{：}y=t(x-3)$を考える．ただし，$t$は実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$C$と$l$が相異なる$2$つの共有点を持つような$t$の値の範囲を求めよ．また，これら$2$点の中点$\mathrm{M}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$の値が(1)で求めた範囲を動くとき，点$\mathrm{M}$の描く図形を図示せよ．

【４】　$0\leqq x\leqq 4$において，$f(x)$を

$f(x)＝\{\begin{array}{ll}2x& \text{（}0\leqq x<2\text{）}\\ 2x-4& \text{（}2\leqq x\leqq 4\text{）}\end{array}$

と定める．このとき，次の問に答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　関数$y=f(f(x))$のグラフをかけ．

(3)　直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+b$が(2)のグラフと相異なる$4$点で交わるような実数$b$の値の範囲を求めよ．

(4)　直線$y=ax+b$が(2)のグラフと相異なる$4$点で交わるための必要十分条件を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．また，この条件をみたす点$(a,b)$全体からなる領域を$ab$平面に図示せよ．