2020　高知大学　前期MathJax

【１】　$3$で割って$1$余る数を$4$から始めて順番に右図のように上から並べていく．例えば$4$行目には，左から$22\text{，}$$25\text{，}$$28\text{，}$$31$の$4$つの数が並ぶことになる．このように数を並べていくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$10$行目の左から$4$番目の数を求めよ．

(2)　$2020$は何行目の左から何番目の数かを求めよ．

(3)　$n$行目に並ぶ数の総和を求めよ．

【２】　$s$を$0<s<1$を満たす実数とする．$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$上に$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}$となる点$\mathrm{P}$を，辺$\mathrm{OB}$上に$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|={\displaystyle \frac{1}{3}}$となる点$\mathrm{Q}$を，辺$\mathrm{OC}$上に$\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|=s$となる点$\mathrm{R}$をとる．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$s\text{，}$$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵PQR}$において，$\mathrm{\angle QPR}$が鋭角であることを示せ．

(3)　$\mathrm{▵PQR}$の面積の最小値を求めよ．ただし，必要があれば次の事実を用いてよい．

『$\mathrm{▵XYZ}$の面積を$S$とすると

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\left|\overrightarrow{\mathrm{XY}}\right|}^2{\left|\overrightarrow{\mathrm{XZ}}\right|}^2-{(\overrightarrow{\mathrm{XY}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{XZ}})}^2}$

が成り立つ．』

【３】　$0.3<{\log }_{10}2<0.302\text{，}$$0.477<{\log }_{10}3<0.478$を用いて，次の問いに答えよ．

(1)　${12}^{12}$の桁数を求めよ．

(2)　${13}^{13}$は$14$桁の整数でないことを示せ．

(3)　$n^n$が$n+1$桁の整数であるような正の整数$n$をすべて求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数とする．関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$は$x=1$で極大値をとり，$x=3$で極小値$0$をとるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の接線のうち，傾きが最小となるものの方程式を求めよ．

(3)　曲線$y=x^2+kx$と$y=f(x)$が異なる$3$点で交わるような実数$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}$は$a_1$が正の整数で，公比が$1$でない正の実数であるような等比数列とする．数列$\{b_n\}$は$b_1$が整数で，公差が整数であるような等差数列とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の各項は整数とする．数列$\{b_n\}$は$b_1=8$であり，公差は$10$とする．$a_5=b_5$であるとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$a_1=27$であり，数列$\{a_n\}$の公比は$1$より小さいとする．また，$a_1>b_1>0$と$a_3=b_3$を満たすとする．このとき，数列$\{b_n\}$の公差が最大となる場合の数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$の一般項の組をすべて求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の公比は$1$より大きいとする．また，$a_2=b_2$と$a_4=b_4$を満たすとする．このとき，数列$\{b_n\}$の公差が最小となる場合の数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$それぞれの一般項を求めよ．

【２】　$\theta$を$0\leqq \theta \leqq \pi$を満たす実数とし，$x$の$2$次方程式

$2x^2-(4\cos \theta )x+3\sin \theta =0$

を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　この$2$次方程式が虚数解を持つような$\theta$の値の範囲を求めよ．

(2)　この$2$次方程式が異なる$2$つの正の解を持つような$\theta$の値の範囲を求めよ．

(3)　この$2$次方程式の$1$つの解が虚数解で，その$3$乗が実数であるとする．このとき，$\sin \theta$の値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q$を整数とする．このとき，$p-q$が奇数であることと，$p+q$が奇数であることは同値であることを証明せよ．

(2)　$p^2-q^2=100$を満たす整数の組$(p,g)$をすべて求めよ．

(3)　$p^2-q^2=250$を満たす整数の組$(p,g)$の個数を求めよ．

(4)　$p^2-q^2=210000$を満たす整数の組$(p,q)$の個数を求めよ．

【４】　$x$の多項式

$f(x)=x^4-4x^3+5x^2-2x$

に対して，次の問いに答えよ．

(1)　極限値$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{x}{f(x)}}$と$\underset{x\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{x-2}{f(x)}}$を求めよ．

(2)　次の等式が$x$についての恒等式となるような定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値を求めよ．

${\displaystyle \frac{1}{f(x)}}={\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{b}{x-2}}+{\displaystyle \frac{c}{x-1}}+{\displaystyle \frac{d}{{(x-1)}^2}}$

(3)　$t\geqq 3$とする．定積分${\displaystyle {\int }_3^t}{\displaystyle \frac{1}{f(x)}}\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　$t$が$3\leqq t\leqq 5$を満たす範囲で動くとき，$F(t)={\displaystyle {\int }_3^t}{\displaystyle \frac{1}{f(x)}}\mathit{dx}$の最大値を求めよ．