2020　福岡教育大学　前期MathJax

(問1)　複素数$z$が$z\ne 1\text{，}$$\left|z\right|=1$をみたしているとき，${\displaystyle \frac{z}{{(1-z)}^2}}$は実数であることを示せ．

(問2)　複素数$z$が$z\ne 1$をみたしているとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{z}^k={\displaystyle \frac{z}{{(1-z)}^2}}\{1-(n+1)z^n+n{z}^{n+1}\}$

が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法で示せ．

(問3)　実数$\theta$が$\cos \theta \ne 1$をみたしているとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k\cos k\theta$$={\displaystyle \frac{1}{2(\cos \theta -1)}}\{1-(n+1)\cos n\theta +n\cos (n+1)\theta \}$

が成り立つことを示せ．

(問1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$の値を求めよ．また，$\sin \mathrm{\angle AOD}$の値を求めよ．

(問2)　$s={\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AD}}}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$s\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表し，$s$の値を求めよ．

(問3)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(問4)　$\mathrm{▵OAD}$と四角形$\mathrm{OAQD}$の面積を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{x^3-2}{x}}$

によって定める．次の問いに答えよ．

(問1)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(問2)　曲線$y=f(x)$について，原点を通る接線の方程式を求めよ．

(問3)　$a$を定数とするとき，方程式$x^3-ax-2=0$の異なる実数解の個数を求めよ．

(問4)　曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=2$で囲まれた部分の面積を求めよ．