2020　福岡教育大学　後期MathJax

(問1)　複素数$z$が$z\ne 0\text{，}$$z\ne 2$を満たしているとき，

${(z+{\displaystyle \frac{4}{z}})}^2+2(z+{\displaystyle \frac{4}{z}})-4={\displaystyle \frac{2^4}{z^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1-{\left({\displaystyle \frac{z}{2}}\right)}^5}{1-{\displaystyle \frac{z}{2}}}}$

が成り立つことを示せ．

(問2)　複素数$\alpha$は実部が${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$であって，$\left|\alpha \right|=2$とする．次の(ア)，(イ)に答えよ．

(ア)　${(\alpha +\bar{\alpha })}^2+2(\alpha +\bar{\alpha })$の値を求めよ．ただし，$\bar{\alpha }$は$\alpha$の共役な複素数を表す．

(イ)　${\alpha }^5$の値を求めよ．

${(S_n)}^2={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(a_k)}^3$

が成り立っている．次の問いに答えよ．

(問1)　$a_2\text{，}$$a_3$を求めよ．

(問2)　$a_{n+1}(S_{n+1}+S_n)={(a_{n+1})}^3$を示し，これを用いて

${(a_{n+1})}^2-a_{n+1}-2S_n=0$

を示せ．

(問3)　$S_m={\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)$となることを示せ．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}x\log x& \text{（}0<x\leqq 1\text{）}\\ {\displaystyle \frac{\log x}{x}}& \text{（}x>1\text{）}\end{array}$

と定め，$f(x)$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(問1)　$m=-M$となることを示せ．

(問2)　曲線$y=f(x)$$\text{（}x>1\text{）}$の変曲点を求めよ．

(問3)　曲線$y=|f(x)|$と直線$y=M$で囲まれた部分の面積を求めよ．