2020　九州大学　前期MathJax

【１】　$a\geqq 0$とする．$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=3{(x-a)}^2+a^3-40$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるような定数$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$の最大値を求めよ．

【２】　座標空間内の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,0,p)\text{，}$$\mathrm{C}$$(q,r,s)$を頂点とする四面体が正四面体であるとする．ただし，$p>0\text{，}$$s>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s$の値を求めよ．

(2)　$z$軸に垂直な平面で正四面体$\mathrm{OABC}$を切ったときの断面積の最大値を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を整数とし，$i$を虚数単位とする．整式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$が$f\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}\right)=0$をみたすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を$c$を用いて表せ．

(2)　$f(1)$を$7$で割ると$4$余り，$f(-1)$を$11$で割ると$2$余るとする．$c$の絶対値が$40$以下であるとき，方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ．

【４】　$4$個のサイコロを同時に投げるとき，出る目すべての積を$X$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$X$が$25$の倍数になる確率を求めよ．

(2)　$X$が$4$の倍数になる確率を求めよ．

(3)　$X$が$100$の倍数になる確率を求めよ．

【１】　点$(a,0)$を通り，曲線$y=e^{-x}-e^{-2x}$に接する直線が存在するような定数$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を整数とし，$i$を虚数単位とする．整式$f(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$が$f\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}\right)=0$をみたすとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$c\text{，}$$d$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　$f(1)$を$7$で割ると$1$余り，$11$で割ると$10$余るとする．また，$f(-1)$を$7$で割ると$3$余り，$11$で割ると$10$余るとする．$c$の絶対値と$b$の絶対値がともに$40$以下であるとき，方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点と辺$\mathrm{BC}$の中点を通る直線を$l\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点と辺$\mathrm{CA}$の中点を通る直線を$m\text{，}$辺$\mathrm{OC}$の中点と辺$\mathrm{AB}$の中点を通る直線を$n$とする．$I\perp m\text{，}$$m\perp n\text{，}$$n\perp l$であり，$\mathrm{AB}=\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{CA}=2$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{OB}$と直線$\mathrm{CA}$のなす角$\theta$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を求めよ．

(2)　四面体$\mathrm{OABC}$の$4$つの頂点をすべて通る球の半径を求めよ．

【５】　座標空間において，中心$(0,2,0)\text{，}$半径$1$で$xy$平面内にある円を$D$とする．$D$を底面とし，$z\geqq 0$の部分にある高さ$3$の直円柱（内部を含む）を$E$とする．点$(0,2,2)$と$x$軸を含む平面で$E$を$2$つの立体に分け，$D$を含む方を$T$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$-1\leqq t\leqq 1$とする．平面$x=t$で$T$を切ったときの断面積$S(t)$を求めよ．また，$T$の体積を求めよ．

(2)　$T$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．