2020　九州大学　後期MathJax

【１】　座標平面上の曲線$C_1$と$C_2$をそれぞれ

$C_1\text{：}y=a{x}^n$$\text{（}x>0\text{）}$

$C_2\text{：}y=\log x$$\text{（}x>0\text{）}$

とする．ただし，$n$を$2$以上の整数，$a$を実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$x>0$のとき，$\log x<x$が成り立つことを証明せよ．

(2)　曲線$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるための$a$の条件を$n$を使って表せ．

(3)　$a$が(2)で求めた条件を満たすとする．曲線$C_1$と$C_2$の異なる$2$つの交点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p\text{，}$$q$とする．ただし$p<q$とする．このとき，

$p<{\displaystyle \frac{q-p}{a(q^n-p^n)}}<q$

が成り立つことを証明せよ．

【２】　自然数$n$に対して定まる関数

$f_n(x)=1-\sqrt{5}|\sin (2n\pi x)|$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　任意の実数$x$に対して$f_n(x)=f_n(x+{\displaystyle \frac{k}{2n}})$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$2n\text{）}$が成り立つことを示せ．

(2)　区間$({\displaystyle \frac{k-1}{2n}},{\displaystyle \frac{k}{2n}})$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$2n\text{）}$において$f_n(x)=0$は相異なる$2$つの解を持つことを示せ．

(3)　区間$[0,1]$における方程式$f_n(x)=0$のすべての解の和を$S_n$とおくとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n}}$を求めよ．

【３】　正の定数$r$に対して座標空間内の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(r,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,r,0)$を定める．また，平面$y={\displaystyle \frac{1}{2}}r$上の点$\mathrm{C}$に対して，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{P}$とする．ただし，点$\mathrm{C}$の$z$座標は正である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{OB}$上の点とする．定数$a\text{，}$$c$に対し，点$\mathrm{C}$を位置$(a,{\displaystyle \frac{1}{2}}r,c)$に固定したとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$を最小とする点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．また，このときの$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$を求めよ．

(2)　(1)で求めた点$\mathrm{Q}$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$なす角が$90\mathrm{°}$であることを示せ．

(3)　点$\mathrm{C}$は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|$を満たしながら動くとする．(1)で求めた点$\mathrm{Q}$と$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{P}$を頂点とする四面体の体積が最大となる点$\mathrm{C}$の座標と，そのときの四面体$\mathrm{OCPQ}$の体積を求めよ．

【４】　直交座標で表された次の$2$つの方程式

$\left|x\right|+\left|y\right|=c_1$(A)

$\sqrt{x^2+y^2}=c_2$(B)

を定義する．ただし$c_1\text{，}$$c_2$は正の定数である．

(1)　$xy$平面上に式(A)を満たす$(x,y)$を図示せよ．

(2)　極座標$(r,\theta )$を用いて，式(A)，(B)をそれぞれ極方程式で表せ．

(3)　原点を除く$(x,y)$に対して${\displaystyle \frac{\left|x\right|+\left|y\right|}{\sqrt{x^2+y^2}}}$の最大値および最小値を求めよ．

【５】　以下の規則にしたがって数直線上を移動する点$\mathrm{A}$を考える．

（規則）点$\mathrm{A}$が座標$x$にあるとき，表が出る確率が$\alpha$$\text{（}0<\alpha <1\text{）}$のコインを投げて，表が出たら$x$から${\displaystyle \frac{x}{2}}$へ移動し，裏が出たら$x$から$1-{\displaystyle \frac{x}{2}}$へ移動する．

点$\mathrm{A}$がはじめに座標$0$にあるとして，事象「上記の規則を適用する操作を$n$回$\text{（}n\geqq 1\text{）}$繰り返した直後に点$\mathrm{A}$が座標$y$にある」の確率を記号$P_n(y)$で表す．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$P_1(y)>0$となる$y$$\text{（}0\leqq y\leqq 1\text{）}$とその確率$P_1(y)$の組をすべて答えよ．

(2)　$y<0$または$y>1$のとき，$P_n(y)=0$であることを示せ．

(3)　$P_n(1)$を求めよ．

(4)　$k$を自然数とするとき，以下のそれぞれの条件で$P_n(2^{-k})$を求めよ．

$\text{①}$　$n\leqq k$のとき

$\text{②}$　$n>k$のとき