2020　九州工業大学　前期MathJax

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$の座標$(p,q)\text{，}$実数$a$の値，および接線$l$の方程式をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$と曲線$D\text{，}$および直線$x=t$$\text{（}0<t<p\text{）}$で囲まれた領域の面積$S(t)$を$t$を用いて表せ．また，$\underset{t\to +0}{\lim }S(t)$を求めよ．ただし，必要ならば$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$が成り立つことを用いてもよい．

(ⅲ)　曲線$C$と曲線$D\text{，}$および直線$x=t$$\text{（}t>p\text{）}$で囲まれた領域の面積$T(t)$を$t$を用いて表せ．また，関数$f(t)={\displaystyle \frac{T(t)}{t^3}}$は区間$t>p$で増加することを示せ．

$y(t)\leqq 0$のとき$\overrightarrow{v}=(a\cos b+\sin y(t),a\sin b)$

$y(t)>0$のとき$\overrightarrow{v}=(0,{\displaystyle \frac{1}{2\pi b}})$

で与えられる．ただし，実数$a\text{，}$$b$は$a>0\text{，}$$0<b<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたす．次に答えよ．

(ⅰ) 動点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$から$x$軸上の点に到達するまでの間の$y(t)$を$t\text{，}$$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(ⅱ)　動点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$から$x$軸上の点に到達するまでの間の$x(t)$を$t\text{，}$$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(ⅲ)　動点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$に到達するためにみたすべき条件を$a$と$b$を用いて表せ．

(ⅳ)　動点$\mathrm{P}$が時刻$T$に点$\mathrm{B}$に到達した．時刻$T$を$b$を用いて表せ．また，$T$の最小値とそのときの$b$を求めよ．

(規則)　$z_n=\alpha z_{n-1}+\beta$

点$z_1$として$z_1=3\sqrt{3}-3i$を選び，この規則を用いて$z_2\text{，}$$z_3$を定めたところ，$z_2={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}i\text{，}$$z_3=3i$となった．次に答えよ．

(ⅰ)　$z_1$と$z_2$を通る直線と，$z_2$と$z_3$を通る直線を考える．この$2$直線のなす角$\theta$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を求めよ．

(ⅱ)　$\alpha$と$\beta$を求めよ．また，それぞれの絶対値，偏角も求めよ．

(ⅲ)　規則に示した$z_n$と$z_{n-1}$の関係を$z_n-\gamma =\alpha (z_{n-1}-\gamma )$と表す．$\gamma$を求めよ．

(ⅳ)　$z_n$を$z_1\text{，}$$\alpha$および(ⅲ)の$\gamma$を用いて表せ．ただし，$z_1\text{，}$$\alpha$および$\gamma$は記号のままで表せ．

(ⅴ)　複素数平面上の点$z_1$を選びなおし，規則を用いて$z_5$を定めなおす．$z_5$が$\left|z_5\right|<1$をみたすために$z_1$がみたすべき条件を求めよ．また，その条件をみたす点$z_1$の全体の表す図形を複素数平面上に図示せよ．

・点$\mathrm{P}$の移動規則

時刻$n-1$における点$\mathrm{P}$の位置が頂点$\mathrm{A}$のときは，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で頂点$\mathrm{B}$か頂点$\mathrm{D}$に移動する．頂点$\mathrm{B}$または頂点$\mathrm{D}$のときは，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で頂点$\mathrm{A}$か頂点$\mathrm{C}$に移動する．頂点$\mathrm{C}$のときは，移動せずそのままとどまる．

・点$\mathrm{Q}$の移動規則

時刻$n-1$における点$\mathrm{Q}$の位置が頂点$\mathrm{C}$のときは，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で頂点$\mathrm{B}$に移動するか頂点$\mathrm{D}$に移動するか移動せずそのままとどまる．頂点$\mathrm{B}$または頂点$\mathrm{D}$のときは，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で頂点$\mathrm{A}$に移動するか点$\mathrm{E}$に移動するか移動せずそのままとどまる．頂点$\mathrm{A}$または点$\mathrm{E}$のときは，移動せずそのままとどまる．

次に答えよ．

(ⅰ)　時刻$n=4$における点$\mathrm{P}$の位置が頂点$\mathrm{C}$である確率を求めよ．

(ⅱ)　時刻$n$における点$\mathrm{Q}$の位置が頂点$\mathrm{B}$である確率を求めよ．

(ⅲ)　時刻$n$において，はじめて点$\mathrm{Q}$の位置が頂点$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．

(ⅳ)　時刻$n=4$までに，少なくとも一度，同時刻に点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の位置が頂点$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．

(ⅴ)　時刻$n=4$における点$\mathrm{P}$の位置が頂点$\mathrm{C}$であった．このとき，はじめて点$\mathrm{P}$の位置が頂点$\mathrm{C}$となった時刻より前に点$\mathrm{Q}$の位置が頂点$\mathrm{A}$となる条件付き確率を求めよ．