2020　九州工業大学　後期MathJax

・$1$回目に投げるコインは$\mathrm{A}$とする．

・各回の試行の結果に応じて，次に投げるコインを以下のように決める．

‐表が出た場合，もう一方のコイン

‐裏が出た場合，同じコイン

（例えば，$1$回目に$\mathrm{A}$を投げて表が出た場合，$2$回目に投げるコインは$\mathrm{B}$となる．）

　次に答えよ．

(ⅰ)　$2$回目に投げたコインが$\mathrm{B}$である確率を求めよ．

(ⅱ)　$2$回目に投げたコインと$3$回目に投げたコインがともに$\mathrm{B}$である確率を求めよ．

(ⅲ)　$3$回目に投げたコインが$\mathrm{B}$であったとき，$2$回目に投げたコインが$\mathrm{B}$である条件付き確率$s$を求めよ．

(ⅳ)　(ⅲ)の$s$に対し，$s\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす$q$の範囲を$p$を用いて表せ．

(ⅴ)　$3$回目に投げたコインが$\mathrm{A}$であったとき，$2$回目に投げたコインが$\mathrm{B}$である条件付き確率を$t$とおく．$t>{\displaystyle \frac{1}{2}}$をみたす点$(p,g)$全体の集合を$pq$平面上に図示せよ．

(ⅰ)　$a_n={\displaystyle \frac{2n-1}{2^n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$の場合を考える．

(a)　すべての自然数$n$に対して，不等式$2^n\geqq 1+n+{\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$を示せ．

(b)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(c)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の収束，発散を調べ，収束するときはその和を求めよ．

(ⅱ)　$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$の場合を考える．無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の収束，発散を調べ，収束するときはその和を求めよ．

(ⅲ)　$a_n=n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$の場合を考える．無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の収束，発散を調べ，収束するときはその和を求めよ．

$f(t)=\tan t\text{，}$$g(t)={\displaystyle \frac{2t}{\sqrt{1-t^2}}}$

について，次に答えよ．

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dt}}}f(t)\text{，}$${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dt}}}g(t)$を求めよ．

(ⅱ) $a\text{，}$$b$は定数で，$a=f(b)$と$0<b<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたしている．定積分

${\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}\mathit{dx}$

を$b$を用いて表せ．

(ⅲ)　$\underset{t\to -1+0}{\lim }g(t)\text{，}$$\underset{t\to 1-0}{\lim }g(t)$を求めよ．また，関数$g(t)$の増減を調べ，曲線$x=g(t)$のグラフの概形をかけ．

(ⅳ)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{2}}}{\displaystyle \frac{1}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}}\mathrm{dx}$

を求めよ．

(ⅴ)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{2}}}{\displaystyle \frac{1}{(x^2+2)\sqrt{x^2+4}}}\mathit{dx}$

を求めよ．

$f(x)=(a+1+a^{-1})a^{2x}-(a+1+a^{-1})a^x\text{，}$$g(x)=a^{3x}-1$

がある．次に答えよ．

(ⅰ)　$X$に関する方程式$X^3-(a+1+a^{-1})X^2+(a+1+a^{-1})X-1=0$を解け．

(ⅱ)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅲ)　曲線$C_1\text{：}y=f(x)$および曲線$C_2\text{：}y=g(x)$の交点の$x$座標をすべて求めよ．

(ⅳ)　(ⅲ)の$2$曲線$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれた図形のうち$x\geqq 0$の部分の面積を$S$とする．$S=1$のとき，$a$の値を求めよ．