2020　佐賀大学　後期MathJax

【１】　$s\text{，}$$t$は，$0<s<1\text{，}$$0<t<{\displaystyle \frac{1}{4}}$を満たす実数とする．$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．ただし，$\mathrm{LM}\perp \mathrm{LN}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$ $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{LM}}$および$\overrightarrow{\mathrm{LN}}$を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$t\text{，}$$s$を用いて表せ．

(2)　$1-2t$を$u$とするとき，$s$を$u$を用いて表せ．

(3)　$s$が最大となる$t$の値と$s$の最大値を求めよ．

【２】　$c$は実数の定数とする．$x$に関する$2$次方程式

$x^2+(c-{\displaystyle \frac{27}{2}})x+c^2+60=0$

に対して，次の問に答えよ．

(1)　この方程式が$x={\displaystyle \frac{17}{2}}$を解にもつような$c$の値を求めよ．

(2)　この方程式が自然数の解をもつような$c$の値を求めよ．

【３】　次の問に答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{\log x}{x}}\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　等式$f(x)=3\log x-x{\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{2f(t)+1}{2t}}\mathit{dt}$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

(3) $f(x)$を(2)で求めた関数とする．$x>0$における関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

【４】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=2\text{，}$$4a_{n+1}=3a_n+{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問に答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対して，$a_n>1$を示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，次の不等式が成立することを示せ．

$a_{n+1}-1<{\displaystyle \frac{3}{4}}(a_n-1)$

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　$1$から$11$までの番号を付けた$11$枚のカードから同時に$2$枚を取り出す試行を考える．取り出した$2$枚のカードの番号の和が奇数である事象を$A$とし，取り出した$2$枚のカードの番号の積が$18$以下である事象を$B$とする．このとき，次の事象が起こる確率を求めよ．

(1)　$B$

(2)　$A\cap B$

(3)　$\bar{A}\cap B$

(4)　$\bar{A}\cup \bar{B}$

【４】　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$は次の条件を満たすものとする．

$f(x)=3{\displaystyle {\int }_1^x}g(t)\mathit{dt}+g(x)\text{，}$$g(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_0^1}{f}^{\prime }(t)\mathit{dt}$

$a={\displaystyle {\int }_0^1}{f}^{\prime }(t)\mathit{dt}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を$a\text{，}$$x$を用いて表せ．

(2)　$a$の値を求めよ．

(3)　$f(x)$を求めよ．