2020　熊本大学　前期MathJax

【１】　$a$を定数とし，$y=(\sin \theta +a)(\cos \theta +a)$とする．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$t=\sin \theta +\cos \theta$とするとき，$y$を$a$と$t$を用いて表せ．

(問２)　$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(問３)　$y$の最大値と最小値を$a$を用いて表せ．

【２】　$a<b<c$を満たす実数$a\text{，}$$c$と整数$b$に対し，$g(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$とする．また，$f(x)=g(x)-g^{\prime }(x)$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$f(a)<0\text{，}$$f(b)>0\text{，}$$f(c)<0$となることを示せ．

(問２)　$f(x)=(x+1)(z^2-4x+2)$のとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(問３)　(問２)で求めた$a\text{，}$$b\text{，}$$c$から定まる曲線$y=g(x)$と$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$xy$平面において，$x\text{，}$$y$がともに整数であるとき，点$(x,y)$を格子点とよぶ．$n$を自然数とするとき，$3$直線$y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{n}{3}}\text{，}$$y=x-n\text{，}$$x=n$で囲まれた図形を$D_n$とする．また，$D_n$の周上および内部の格子点の個数を$L_n$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$L_3$を求めよ．

(問２)　$k$を$0$以上の整数とする．直線$l\text{：}x=n+3k$が$D_n$と交わるとき，$D_n$の周上および内部の格子点で$l$上にあるものの個数を$n$と$k$を用いて表せ．

(問３)　$L_n$を$n$を用いて表せ．

【４】　$k\text{，}$$s\text{，}$$t$を実数とする．座標空間に原点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,-1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,0,k)$の$4$点をとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(1-s)\overrightarrow{\mathrm{OA}}$で定まる点を$\mathrm{D}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で定まる点を$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{DE}}$により定まる点を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　点$\mathrm{P}$の座標を$k\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(問２)　点$\mathrm{P}$が$0\leqq s\leqq 1\text{，}$$0\leqq t\leqq 1$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$が動いてできる平行四辺形を$P(k)$とし，その面積を$S(k)$とする．$k$が実数全体を動くとき，$S(k)$の最小値と，そのときの$k$の値を求めよ．

(問３)　(問２)で求めた$k$に対し，平行四辺形$P(k)$を底面とし，点$\mathrm{O}$を頂点とする四角錐の体積を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(問１)　$x$が自然数のとき，$x^2$を$5$で割ったときの余りは$0\text{，}$$1\text{，}$$4$のいずれかであることを示せ．

(問２)　自然数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が$x^2+5y=2z^2$を満たすとき，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$はすべて5の倍数であることを示せ．

(問３)　$x^2+5y^2=2z^2$を満たす自然数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組は存在しないことを示せ．

【２】　$\alpha \text{，}$$\beta$を複素数とし，複素数平面上の点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}({\left|\alpha \right|}^2)\text{，}$$\mathrm{D}(\bar{\alpha }\beta )$を考える．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は三角形をなすとする．また，複素数$z$に対し，$\mathrm{Im}(z)$によって$z$の虚部を表すことにする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$\mathrm{▵OAB}$の面積を$S_1\text{，}$$\mathrm{▵OCD}$の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めよ．

(問３)　$\mathrm{▵OAB}$の面積$S_1$は${\displaystyle \frac{1}{2}}|\mathrm{Im}(\bar{\alpha }\beta )|$で与えられることを示せ．

(問３)　実数$a\text{，}$$b$に対し，複素数$z$を$z=a+bi$で定める．$1\leqq a\leqq 2\text{，}$$1\leqq b\leqq 3$のとき，$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{P}(z)\text{，}$$\mathrm{Q}\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)$を頂点とする$\mathrm{▵OPQ}$の面積の最大値と最小値を求めよ．

【３】　$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$$(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}$$x$軸，$y$軸および直線$x=t$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V(t)$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$0<a<b<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，

$\pi (b^2-a^2){\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}a}}$$\leqq V(b)-V(a)$$\leqq \pi (b^2-a^2){\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}b}}$

を示せ．

(問２)　(間１)の不等式を用いて，${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dt}}}V(t)=2\pi t{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}t}}$を示せ．

(間３)　$V\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$を求めよ．

【４】　正の実数$t$に対し，座標平面上の$2$点$\mathrm{F}$$(t,0)\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }$$(3t,0)$からの距離の和が$2\sqrt{2}t$であるような点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．直線$y=x-1$を$l$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$C$と$l$が相異なる$2$つの共有点をもつような$t$の範囲を求めよ．

(問２)　$t$が(問１)で求めた範囲を動くとき，$C$と$l$の$2$つの共有点および原点$\mathrm{O}$を頂点とする三角形の面積の最大値を求めよ．

【１】　$xy$平面上において，媒介変数$t$$(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi )$によって

$\{\begin{array}{l}x=\sin t\\ y=1-\cos 3t\end{array}$

と表される曲線を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$C$上の点で$x$座標が最大になる点$\mathrm{P}$と$y$座標が最大になる点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．

(間２)　$C$上の点$({\displaystyle \frac{1}{2}},1)$における接線の方程式を求めよ．

(問３)　$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(問１)　$x$が自然数のとき，$x^2$を$5$で割ったときの余りは$0\text{，}$$1\text{，}$$4$のいずれかであることを示せ．

(問２)　$x^2+5y^2=2z^2$を満たす自然数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組は存在しないことを示せ．

【４】　$xy$平面において，$x\text{，}$$y$がともに整数であるとき，点$(x,y)$を格子点とよぶ．$2$以上の整数$n$に対し，

$0<x<n\text{，}$$1<2^y<{(1+{\displaystyle \frac{x}{n}})}^n$

をみたす格子点$(x,y)$の個数を$P(n)$で表す．以下の問いに答えよ．

(問１)　不等式

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}\{n{\log }_2(1+{\displaystyle \frac{k}{n}})-1\}$$\leqq P(n)$$<{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}n{\log }_2(1+{\displaystyle \frac{k}{n}})$

を示せ．

(問２)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{P(n)}{n^2}}$を求めよ．

(問３)　(問２)で求めた極限値を$L$とする．不等式

$L-{\displaystyle \frac{P(n)}{n^2}}>{\displaystyle \frac{1}{2n}}$

を示せ．