2020　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$は自然数で，$p=a^2-a+2ab+b^2-b$とする．$p$が素数となるような$a\text{，}$$b$をすべて求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$-\pi \leqq x<\pi$のとき，方程式$\sqrt{2}\sin x-1=\sqrt{6}\cos x+1$を解け．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$n$を自然数とする．$1$から$2n$までの数字が$1$つずつ書かれた$2n$枚のカードがある．この中から$1$枚のカードを等確率で選ぶ試行において，選ばれたカードに書かれた数が偶数であることがわかっているとき，その数が$n$以下である確率を求めよ．

【２-１】　$t$を正の実数とする．実数全体の集合の，$2$つの部分集合$A\text{，}$$B$を次のように定める．

$A=\{a|$すべての実数$x$に対して$x^2+(a+1)x+2a>0$が成り立つ$\}$

$B=\{b|$$b{x}^2+tx+(b+t)<0$を満たす実数$x$が存在する$\}$

(1)　集合$A$に属する実数$a$の範囲を求めよ．

(2)　集合$B$に属する実数$b$の範囲を，$t$を用いて表せ．

(3)　$A\cap B$が空集合でないような$t$の範囲を求めよ．

【２-２】　$f(x)=\log x$$\text{（}x>0\text{）}$とする．$xy$平面において，曲線$y=f(x)$の接線で原点を通るものを$y=g(x)$とする．

(1)　$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$となることを，導関数の定義を用いて示せ．ただし，$e=\underset{x\to 0}{\lim }{(1+k)}^{\frac{1}{k}}$とする．

(2)　$g(x)$を求めよ．

(3)　$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

(4)　(3)の部分を$y$軸のまわりで回転させてできる立体の体積を求めよ．

【３-１】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を，初項$a_1=0\text{，}$$b_1=1\text{，}$および次の漸化式で定める．

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=a_n+\sqrt{3}{b}_n\\ b_{n+1}=-\sqrt{3}{a}_n+b_n\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3\text{，}$$b_4$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，$a_{n+3}=-8a_n\text{，}$$b_{n+3}=-8b_n$が成り立つことを示せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^9}{a}_n$を求めよ．

(4)　次で定まる$T$の値を求めよ．

$T={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}{b}_{2020}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{2020}}{a}_n$

【３-２】　鋭角三角形$\mathrm{OAB}$の頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{D}\text{，}$頂点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{E}$とする．また，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{OB}=k$とし，$\mathrm{\angle OAD}=\theta$とする．

(1)　$\mathrm{OD}$と$\mathrm{OE}$を$k\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$k\text{，}$$\theta \text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$と一致するとき，$k\text{，}$$\theta$を求めよ．

【３-３】　$1$個のさいころを$3$回投げる．

(1)　$3$回とも偶数の目が出る事象を$A\text{，}$出る目の数がすべて異なる事象を$B$とする．このとき，$A$と$B$は独立であるか，独立でないか，答えよ．

(2)　出る目の数の和を$X$とし，$Y=2X$とおく．確率変数$Y$の期待値$E(Y)$と分散$V(Y)$を求めよ．

(3)　出る目の数の最大値を$Z_1\text{，}$最小値を$Z_2$とする．このとき，$Z_1=5$かつ$Z_2=2$となる確率$P(Z_1=5\text{，}{Z}_2=2)$を求めよ．

【４】　$xy$平面上で双曲線$H$と放物線$C$が，次の方程式で与えられている．

$H\text{：}{x}^2-y^2=1\text{，}$$C\text{：}y={\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2+b$（ただし，$a\text{，}$$b$は実数，$a>0$）

　$H$と$C$は，第$1$象限においてただ一つの共有点$\mathrm{P}$をもち，点$\mathrm{P}$で共通の接線$l_1$をもつとする．このとき，$H$と$C$が第$2$象限にただ一つもつ共有点を$\mathrm{Q}$とし，$H$と$C$が点$\mathrm{Q}$でもつ共通の接線を$l_2$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標$(s,t)$と$b$を，$a$を用いて表せ．

(2)　接線$l_1$の方程式を，$a$を用いて表せ．

(3)　放物線$C$と接線$l_1\text{，}$$l_2$で囲まれた部分の面積$S$を，$a$を用いて表せ．

(4)　$a$が正の実数を動くとき，面積$S$の最小値を求めよ．

【５】　$xy$平面上を運動する点$\mathrm{P}$の描く曲線$C$が，時刻変数$t$によって

$x=\sin t\text{，}$$y=\sin 2t$$\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$

と媒介変数表示されているとする．

(1)　点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v}$を，$t$を用いて表せ．

(2)　$t$が動くとき，点$\mathrm{P}$の速さ$\left|\overrightarrow{v}\right|$の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの$t$の値は求めなくてよい．

(3)　$x\text{，}$$y$で表した曲線$C$の方程式を求め，そのグラフの概形を下の図(あ)〜(え)の中からひとつ選べ．

(4)　曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．