2020　鹿児島大学　AO理学部MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{PC}$を$2:5$に外分する点を$\mathrm{Q}$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を定数とする．数列$\{a_n\}$は$a_{n+1}=p{a}_n+qn+r$を満たす．数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n$と定めるとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　${(1+\sqrt{3}i)}^3+{(-1+\sqrt{3}i)}^3$を計算せよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【１】　次の各問いに答えよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}x|\sin x|\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^0}{x}^4{(1+x^5)}^{2019}\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　座標平面上の放物線$y=x^2$上に$2$つの点$\mathrm{A}$$(\alpha ,{\alpha }^2)$と$\mathrm{B}$$(\beta ,{\beta }^2)$をとる．ただし，$\alpha >0\text{，}$$\beta <0$とする．また，原点を$\mathrm{O}$で表す．

(1)　二つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$\alpha \text{，}$$\beta$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{A}$$(\alpha ,{\alpha }^2)$と$\mathrm{B}$$(\beta ,{\beta }^2)$が$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たしながら動くとき，面積$S$の最小値とそのときの点$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

【３】　$0\leqq x\leqq 2\pi$の範囲で関数$f(x)=x+2\sin x$を考える．

(1)　増減，極値を調べて増減表をかけ．

(2)　さらに凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(3)　$k$を定数とする．$x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$についての方程式$x+2\sin x=k$の異なる実数解の個数を求めよ．

【４】　整数$m\text{，}$$n$に関する方程式

$m^2-2mn+2n^2+2m-8n+9=0\cdots$(＊)

を考える．

(1)　(＊)の左辺を$m$に関する$2$次式とみて$m$について平方完成せよ．

(2)　(＊)を満たす整数$m\text{，}$$n$の組$(m,n)$をすべて求めよ．

【５】　$11$の倍数

$\cdots \text{，}-11\text{，}0\text{，}11\text{，}22\text{，}33\text{，}44\text{，}\cdots$

に関連して，次の各問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とし，$a_n={10}^n-{(-1)}^n$とする．すべての$n$に対して$a_n$は$11$の倍数であることを示せ．

(2)　$N$を$m$桁の自然数とし，各桁を一の位から順に

$N(1)\text{，}$$N(2)\text{，}$$\cdots \text{，}$$N(m)$

と表す．${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{(-1)}^{k-1}N(k)$が$11$の倍数であるとき，$N$もまた$11$の倍数となることを示せ．

(3)　$1$個のさいころを$3$回連続して投げるとき，$1$回目に出た目を$D_1\text{，}$$2$回目に出た目を$D_2\text{，}$$3$回目に出た目を$D_3$とする．一の位が$D_1\text{，}$十の位が$D_2\text{，}$百の位が$D_3$である$3$桁の自然数が$11$の倍数になる確率を求めよ．