2020　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　$629$と$481$の最大公約数を$d$とする．$x$と$y$に関する方程式

$629x+481y=d$

を満たす整数$x\text{，}$$y$の組をすべて求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　次の条件により定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2-a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　$5$人が$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の$5$部屋に入るとき，「$1$人だけの部屋が存在しない」確率を求めよ．

【２】　$n$を自然数とする．関数$f_n(x)$を$f_n(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{(x\cos t+\sin 2nt)}^2\mathit{dt}$で定義する．また，各$n$に対して$f_n(x)$の最小値を$a_n$とする．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{2}nt\mathit{dt}$および${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{2}2nt\mathit{dt}$を求めよ．

(2)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　$a$と$b$は$0<a<b$をみたす定数とする．座標平面上の点$\mathrm{A}$$(0,-a)$と直線$l\text{：}y=a$に対して，点$\mathrm{A}$からの距離と直線$l$からの距離の和が$2b$である点の軌跡を$C$とする．

(1)　軌跡$C$上の点$\mathrm{P}$$(x,y)$について，$y\geqq a$のとき，$y$を定数$a\text{，}$$b$を含む$x$の式で表せ．

(2)　軌跡$C$の概形を図示せよ．

(3)　軌跡$C$で囲まれる部分を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$a$と$b$を用いて表せ．

【４】　複素平面上において原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．円$C$の外部の点$\mathrm{P}(w)$を通る円$C$の$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$とする．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$の実軸に関して対称な点を$\mathrm{R}(z)$とする．

(1)　$z$を$w$を用いて表せ．

(2)　$z={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$z={\displaystyle \frac{i}{2}}$のときの$w$の値をそれぞれ$\gamma \text{，}$$\delta$とする．点$\mathrm{R}(z)$が点${\displaystyle \frac{1}{2}}$と点${\displaystyle \frac{i}{2}}$を結ぶ直線上にあるとき，点$\mathrm{P}(w)$は原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\gamma \text{，}$点$\delta$の$3$点を通る円上にあることを示せ．

(3)　次の$\text{①}$と$\text{②}$をつなげた曲線を考える．

$\text{①}$　点${\displaystyle \frac{1}{2}}$と点${\displaystyle \frac{i}{2}}$を結ぶ線分

$\text{②}$　円$\left|z\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}$上で，点${\displaystyle \frac{i}{2}}$と点${\displaystyle \frac{1}{2}}$を端点とし，中心角が${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$の弧

点$\mathrm{R}(z)$がこの曲線上を点${\displaystyle \frac{1}{2}}$から出発し，$\text{①}$を通って点${\displaystyle \frac{i}{2}}$へ，次に$\text{②}$を通って点${\displaystyle \frac{1}{2}}$に戻ってくるときの点$\mathrm{P}(w)$の軌跡を図示せよ．