2020　公立千歳科学技術大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　$f(x)=-2x^2+3x{\displaystyle {\int }_{-1}^2}f(t)\mathit{dt}$において，$f(1)$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos x}{x}}$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\perp (3\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b})$を満たす$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$がなす角$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　一辺の長さが$1$である正八面体において，すべての面に接する球の表面積を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　$\sqrt{(x-2)(4+x)}>3-{\displaystyle \frac{x}{2}}$を解きなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(6)　$0\leqq \theta <2\pi$において，$\cos 2\theta -\sqrt{3}\sin 2\theta =1$の解を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(7)　$x^{18}+x^6+1$を$x^2+x+1$で割ったときの余りを求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(8)　$1$から$300$までの番号をつけた$300$枚のカードのなかから$1$枚のカードを取り出すとき，取り出した番号が$8$の倍数または$12$の倍数である確率を求めなさい．

【２】　$1$以上の整数$n$について，${(\cos \theta +i\sin \theta )}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$が成立することを，数学的帰納法を用いて証明しなさい．なお，$i=\sqrt{-1}$である．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(1)　対数に関する公式${\log }_a{b}^x=x{\log }_{a}b$を用いて，$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$c>0\text{，}$$a\ne 1\text{，}$$b\ne 1\text{，}$$c\ne 1$であるとき，${\log }_{a}b={\displaystyle \frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}}$が成り立つことを証明しなさい．

(2)　${\log }_{3}x+12{\log }_{x}3-7=0$の解を求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

【４】　$xy$平面上の曲線$y=(x-1)(x-2)(x-5)$の接線のうち，原点を通るものをすべて求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

【５】　$xy$平面上において，放物線$C\text{：}y=x^2$に引いた$2$つの接線が常に直交しており，$2$つの接点が放物線$C$上を移動するとき，接線の交点が描く軌跡の方程式を求めなさい．また，軌跡の概形を図示しなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．