2020　公立千歳科学技術大学　中期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(1)　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq \pi$において，$\sin \theta ={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$\cos (\pi -\theta )$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(2)　$|x-3|+|x+5|\geqq 10$を満たす$x$の範囲を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(3)　${\displaystyle \frac{2}{3-\sqrt{5}}}$の整数部分を$\alpha$とし，小数部分を$\beta$とするとき，${\alpha }^3-{\beta }^3$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(4)　$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{x^2+2x+3}-x-2)$の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(5)　$\sqrt{a^2+140}$が整数となるような，正の整数$a$をすべて求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(6)　${\left({\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}\right)}^5+{\left({\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}\right)}^7$の値を求めなさい．ただし，$i=\sqrt{-1}$とする．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(7)　$0\leqq \theta <2\pi$において，$2{\sin }^2\theta +5\cos \theta <4$を解きなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．解答欄には答えのみ書きなさい．

(8)　$12$人を$4$人ずつ，$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか求めなさい．ただし，グループには区別がないものとする．

【２】　図のような$1$辺の長さが$a$の立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$がある．線分$\mathrm{AF}\text{，}$$\mathrm{BG}\text{，}$$\mathrm{CH}\text{，}$$\mathrm{DE}$上にそれぞれ動点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$があり，頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を同時に出発して，同じ速さで頂点$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{E}$まで動く．このとき四角形$\mathrm{PQRS}$が通過してできる立体の体積を求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(編注）2010年　東京学芸大前期【３】を活用

【３】　数列$\{a_n\}$は，$a_1=-3\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n+1}{a_n+2}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定義されている．

(1)　$a_n={\displaystyle \frac{3^{n-1}+2}{3^{n-1}-2}}$であることを，数学的帰納法を用いて証明しなさい．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

【４】　$a$を実数とする方程式${\displaystyle \frac{e^{x^2}}{x}}=a$について，異なる実数解の個数を求めなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．なお，${\displaystyle \frac{e^{x^2}}{x}}$の極限については，証明せずに用いてよい．

【５】　$xy$平面上の$3$直線$y=x+2\text{，}$$y=-2x+14\text{，}$$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+5$に囲まれてできる三角形を$D$とする．以下の問いに答えなさい．解答欄には途中の計算過程も書きなさい．

(1)　$D$の周囲および内部の点を$(x,y)$とするとき，$y-2x$および$x^2+y^2$の最大値を求めなさい．

(2)　$D$が内接する円の方程式を求めなさい．