2020 公立はこだて未来大学 前期MathJax

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2020 公立はこだて未来大学 前期

必須問題

配点75点

易□ 並□ 難□

【1】  a および t を実数とする.座標平面上の点 A (x 1,y1 ) が直線 y =ax 上を動くとき,点 B (4 x1+t y1,( 8t) x1 2y1 ) も直線 y= ax 上を動くとする.このとき,以下の問いに答えよ.

問1 ある t に対して a がただ 1 つ存在するとき, t および a の値をすべて求めよ.

問2 ある t に対して a が 2 つ存在するとき,その値を a 1 および a 2 a1< a2 とする.このとき, 2 つの直線 y =a1 x y= a2x が直交するような t a1 および a2 の値をすべて求めよ.

2020 公立はこだて未来大学 前期

必須問題

配点75点

易□ 並□ 難□

【2】  a を実数とする.関数 f (x) =x3 ax2 +a+1 について,以下の問いに答えよ.

問1  f( x)=0 が相異なる 3 個の実数解をもつとき, a の値の範囲を求めよ.

問2  a がすべての実数値をとって変化するとき,座標平面上において y =f( x) のグラフが a の値によらず通る点が 2 点存在する.そのうち x 座標の小さい方を点 P 他方を点 Q とする.点 P Q の座標をそれぞれ求めよ.

問3 座標平面上において,曲線 y= f(x ) C 問2で求めた点 P Q を通る直線を l と表す.曲線 C と直線 l は相異なる 3 つの交点を持ち,点 P Q 以外の交点は直線 l 上で点 P と点 Q の間に存在するとする.このとき,曲線 C と直線 l によって囲まれた 2 つの部分の面積の和を a を用いて表せ.

問4 問3で求めた面積の和の最小値,およびそのときの a の値をそれぞれ求めよ.

2020 公立はこだて未来大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B 選択問題

配点75点

易□ 並□ 難□

【1】  t を実数とし,関数 f (x) =x2 +tx とする. y=f (x) 0 x1 における最大値を M (t) 最小値を m (t) とするとき,以下の問いに答えよ.

問1  M( t) および m (t) t を用いてそれぞれ表せ.

問2  t がすべての実数値をとって変化するとき,点 (t,M (t )) および点 (t, m(t )) の軌跡をそれぞれ異なる座標平面に図示せよ.

問3  03{ M(t )-m (t) }dt の値を求めよ.

2020 公立はこだて未来大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B 選択問題

配点75点

易□ 並□ 難□

【2】 箱に 1 から 7 までの相異なる自然数が 1 つずつ書かれた 7 枚のカードが入っている. n を自然数とし k n 以下の自然数とする.箱から 1 枚のカードを取り出し,その数を記録してからカードを箱に戻す試行を n 回行う. k 回目の試行で記録した数を X k とし, X1 から X n までの積を Y n とする. Yn 3 で割った余りが 0 1 2 となる確率をそれぞれ p n qn rn とする.このとき,以下の問いに答えよ.

問1  Yn が素数となる確率を求めよ.

問2  pn n を用いて表せ.

問3  qn+1 q n および r n を用いて表せ.さらに, rn+1 q n および rn を用いて表せ.

問4  qn+ rn および q nrn n を用いてそれぞれ表せ.さらに, qn および r n n を用いてそれぞれ表せ.

2020 公立はこだて未来大学 前期

数学III 選択問題

配点75点

易□ 並□ 難□

【1】  n を自然数, i を虚数単位とする. a1= π4 0an π をみたす数列 {an } に対して z n=cos an+i sinan と定めるとき,複素数からなる数列 {zn } z n+1 2=i zn をみたすとする.このとき,以下の問いに答えよ.

問1 数列 {an } がみたす漸化式を求めよ.

問2 数列 {an } の一般項を求めよ.

問3  limn an を求めよ.

2020 公立はこだて未来大学 前期

数学III 選択問題

配点75点

易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上の曲線 y= |e xt | 直線 x =1 x 軸,および y 軸で囲まれた部分を D とする.ただし, t 1e<t <1 をみたす実数とする.このとき,以下の問いに答えよ.

問1  D の面積 S (t ) を求めよ.

問2 問1で求めた S (t ) の最小値,およびそのときの t の値をそれぞれ求めよ.

問3  D x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V (t ) を求めよ.

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