2020　岩手県立大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　$k$を実数とする．関数$f(x)=x^2-2(k+2)x+k^2-k+4$について，次の設問に答えなさい．

(a)　$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ$k$を用いて表しなさい．

(b)　$1\leqq x\leqq 2$の範囲において，常に不等式$f(x)>0$が成り立つような$k$の値の範囲を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を$0$ではない実数とする．$x+y+z=0$のとき，次の設問に答えなさい．

(a)　不等式$xy+yz+zx<0$が成り立つことを証明しなさい．

(b)　$(x+y)(y+z)(z+x)<0$ならば，不等式$xyz>0$が成り立つことを証明しなさい．

【２】　$n$を正の整数とする．次の数列について，分母が$n+1$の項をまとめて第$n$群とする．

${\displaystyle \frac{1}{2}},$${\displaystyle \frac{1}{3}},$${\displaystyle \frac{2}{3}},$${\displaystyle \frac{1}{4}},$${\displaystyle \frac{2}{4}},$${\displaystyle \frac{3}{4}},$${\displaystyle \frac{1}{5}},$${\displaystyle \frac{2}{5}},$${\displaystyle \frac{3}{5}},$${\displaystyle \frac{4}{5}},$${\displaystyle \frac{1}{6}},$${\displaystyle \frac{2}{6}},$${\displaystyle \frac{3}{6}},$${\displaystyle \frac{4}{6}}\cdots$

このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　この数列の第$128$項を求めなさい．

[問２]　第$n$群の和を求めなさい．

[問３]　$1\leqq n\leqq 10$のとき，次を満たす$n$の値をすべて答えなさい．

「第$n$群に含まれる項のうち，既約分数にしたときに分子が$1$となる項が$1$個のみである．」

[問４]　第$n$群に含まれる項のうち，既約分数にしたときに分子が$1$となる項が$1$個のみである条件を答えなさい．

[問５]　第$359$群に含まれる項のうち，既約分数にしたときに分子が$1$となる項の個数を求めなさい．

【３】　空間に$5$点$\mathrm{A}$$(1.1,-2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,0,-2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,3,-3)\text{，}$$\mathrm{D}$$(a,1,b)\text{，}$$\mathrm{E}$$(-1,-2,-3)$がある．$a\text{，}$$b$は実数の定数である．また，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を含む平面を$T$とし，$\mathrm{E}$から$T$に下ろした垂線と$T$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$b=-1$であるとき，$a$の値を求めなさい．

[問２]　$\mathrm{H}$の座標を求めなさい．

[問３]　線分$\mathrm{DH}$の長さが最小になる$b$の値を求めなさい．

【４】　$t$を$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動く実数とし，関数$f(t)$を

$f(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-2tx|\mathit{dx}$

とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$f(1)$を求めなさい．

[問２]　$f\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)$を求めなさい．

[問３]　$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めなさい．また，$f(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めなさい．