2020　岩手県立大学　後期MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　次の設問に答えなさい．

(a)　二進法で表された数${101101.1}_{(2)}$を十進法で表しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　次の設問に答えなさい．

(b)　${1101}_{(2)}\times {101}_{(2)}$の計算結果を二進法で表しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問１]　次の設問に答えなさい．

(c)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$をそれぞれ$1$桁の数として$3$桁の数を$\mathit{abc}$と表記するとき，七進法で表すと$3$桁の数${\mathit{abc}}_{(7)}$になり，九進法で表すと$3$桁の数${\mathit{cba}}_{(9)}$になる数を十進法で表しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

[問２]　次の設問に答えなさい．

(a)　方程式$11x+60y=2$を満たす整数の組$(x,y)$を$1$つ求めなさい．

(b)　方程式$11x+60y=2$を満たす整数の組$(x,y)$をすべて求めなさい．

(c)　$xy$平面上の直線$11x+60y=2$の上にある$x\text{，}$$y$座標がともに整数である点について，点$(22,7)$との距離の最小値を求めなさい．

【２】　実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$について，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$x+y+2z=3$のとき，$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}+4z^2$の最小値を求めなさい．また，そのときの$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の値をそれぞれ答えなさい．

[問２]　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が実数のとき，不等式$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$$\geqq {(ax+by+cz)}^2$が成り立つことを証明しなさい．また，等号が成り立つのはどのようなときか，答えなさい．

[問３]　$x^2+y^2+z^2=2$のとき，$z+2y+\sqrt{3}z$の最大値と最小値を求めなさい．また，そのときの$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の値をそれぞれ答えなさい．

【３】　次の$3$直線$l_1\text{，}$$l_2\text{，}$$l_3$で囲まれた三角形$T$を考える．

$l_1\text{：}3x+4y=10\text{，}$$l_2\text{：}4x-3y=10\text{，}$$l_3\text{：}12x+5y=-26$

このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$a\text{，}$$b$を実数とし，点$(a,b)$と$l_1$との距離を$d_1\text{，}$点$(a,b)$と$l_2$との距離を$d_2$とする．このとき，$d_1\text{，}$$d_2$を$a\text{，}$$b$を用いてそれぞれ表しなさい．

[問２]　$l_1$と$l_2$のなす角を二等分する直線の方程式をすべて求めなさい．

[問]　$l_2$と$l_3$のなす角を二等分する直線の中で，$T$の内部を通る直線の方程式を求めなさい．

[問４]　$T$の内接円の方程式を求めなさい．

【４】　次の方程式で表される曲線$C$について考える．

$C\text{：}y=\sqrt{\log x}$$\text{（}x\geqq 1\text{）}$

$C$の接線で原点を通るものを$l_1$とし，$C$と$l_1$の接点を$\mathrm{P}$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の法線を$l_2$とし，$l_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

[問１]　$l_1$の方程式および$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めなさい．

[問２]　$l_2$の方程式および$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めなさい．

[問３]　$C$と$l_2$および$x$軸で囲まれる領域を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めなさい．