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2020-11141-0101
2020 会津大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ.ただし, i は虚数単位である.
(1) 次の積分を求めよ.
(ⅰ) ∫01 dx x+1 =イ
(ⅱ) ∫1e x⁢log⁡ x⁢dx= ロ
2020-11141-0102
(2) 次の値を求めよ.
(ⅰ) ( 32+ i2 )2020= ハ
(ⅱ) (cosπ 7-i⁢sin ⁡π7 )⁢(cos ⁡5⁢ π14+i⁢ sin⁡5 ⁢π14 )= ニ
2020-11141-0103
(3) 方程式 6x- 2x+1- 3x+1+ 6=0 を解け. ホ
2020-11141-0104
(4) n を自然数とする. n2+2020 が整数となる n をすべて求めよ.
2020-11141-0105
(5) 座標平面上に点 A (-1,0 ) と点 B (1.0 ) がある.点 C (x,y ) が AC BC=3 を満たすとき,実数 x の値の範囲を求めよ. ト
2020-11141-0106
【2】 数列 {a n} の初項 a1 から第 n 項までの和 Sn が
Sn=2⁢ an+n2 -3 (n= 1,2 ,3 ,⋯ )
であるとき,以下の空欄をうめよ.
(1) an+1 を an の式で表すと an+ 1= イ であり,また, a1= ロ , a2= ハ である.
(2) bn=a n+1-a n とおく.数列 {b n} の一般項を求めると, bn= ニ である.
(3) 数列 {a n} の一般項を求めると, an= ホ である.
2020-11141-0107
【3】 右のような直方体 OABC‐ DEFG において,辺 AB を 1:2 に内分する点を M , 辺 FG の中点を N とし,線分 MN と平面 EBG の交点を P とする. OẢ→= a→ , OC→= c→ , OD→=d → とおく.
このとき,以下の空欄をうめよ.
(1) MN→ を a→ , c→ , d→ で表すと MN→ = イ である.
(2) 点 P が平面 EBG 上にあることより, BP→ は,実数 s , t を用いて BP→ =s⁢BE →+t⁢ BG→ と書ける.このとき, OP→ を a→ , c→ , d→ , s, t で表すと OP→ = ロ である.
(3) OP→ を a→ , c→ , d→ で表すと OP→ = ハ である.
(4) この直方体のすべての辺の長さが 1 のとき, ▵EBP の面積は ニ である.
2020-11141-0108
【4】 袋の中に, 1 と書かれた玉, 2 と書かれた玉, 3 と書かれた玉がそれぞれ 1 つずつ,合計 3 つの玉が入っている.この袋から玉を 1 つ取り出して書かれた数字を調べてからもとに戻す.この試行を n 回繰り返す (n≧ 2). 取り出した玉に書かれた数字を,取り出した順に X1 , X2 , ⋯. Xn とする. Xi<X i+1 をみたす i (1≦ i≦n-1 ) の個数を得点とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) 試行を 3 回繰り返した結果(すなわち n=3 の場合),得点が 2 となる確率を求めよ. イ
(2) 試行を 3 回繰り返した結果(すなわち n=3 の場合),得点が 1 となる確率を求めよ. ロ
(3) 試行を 3 回繰り返した結果(すなわち n=3 の場合),得点が 0 となる確率を求めよ. ハ
(4) 試行を n 回繰り返した結果,得点が 0 となる確率を求めよ. ニ
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【5】 関数 f⁡( x)=x⁢ e-x2 を考える. y=f⁡( x) のグラフを C とする.このとき,以下の問いに答えよ.(結論に至る過程も記述すること.)
(1) f⁡(x ) の増減,極値, C の凹凸,変曲点を調べて, C を座標平面上に描け.
(2) 原点を O とし, x>0 の表す領域にある変曲点を P とする.このとき, C と線分 OP で囲まれた部分の面積を求めよ.
2020-11141-0110
【6】 n を自然数とする.関数 f⁡( x)=x⁢ sin⁡x の第 n 次導関数 f( n)⁡ (x) について,次の等式がなりたつことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.
f(n )⁡( x)=x⁢ sin⁡(x+ n2⁢π )+n⁢sin⁡ (x+n −12⁢ π)