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2020 会津大学 前期

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【1】 以下の問いに答えよ.ただし, i は虚数単位である.

(1) 次の積分を求めよ.

(ⅰ)  01 dx x+1 =

(ⅱ)  1e xlog xdx=

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【1】 以下の問いに答えよ.ただし, i は虚数単位である.

(2) 次の値を求めよ.

(ⅰ)  ( 32+ i2 )2020=

(ⅱ)  (cosπ 7-isin π7 )(cos 5 π14+i sin5 π14 )=

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【1】 以下の問いに答えよ.ただし, i は虚数単位である.

(3) 方程式 6x- 2x+1- 3x+1+ 6=0 を解け.

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【1】 以下の問いに答えよ.ただし, i は虚数単位である.

(4)  n を自然数とする. n2+2020 が整数となる n をすべて求めよ.

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【1】 以下の問いに答えよ.ただし, i は虚数単位である.

(5) 座標平面上に点 A (-1,0 ) と点 B (1.0 ) がある.点 C (x,y ) AC BC=3 を満たすとき,実数 x の値の範囲を求めよ.

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【2】 数列 {a n} の初項 a1 から第 n 項までの和 Sn

Sn=2 an+n2 -3 n= 12 3

であるとき,以下の空欄をうめよ.

(1)  an+1 an の式で表すと an+ 1= であり,また, a1= a2= である.

(2)  bn=a n+1-a n とおく.数列 {b n} の一般項を求めると, bn= である.

(3) 数列 {a n} の一般項を求めると, an= である.

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2020年会津大前期【3】2020111410106の図

【3】 右のような直方体 OABC DEFG において,辺 AB 1:2 に内分する点を M FG の中点を N とし,線分 MN と平面 EBG の交点を P とする. OẢ= a OC= c OD=d とおく.

 このとき,以下の空欄をうめよ.

(1)  MN a c d で表すと MN = である.

(2) 点 P が平面 EBG 上にあることより, BP は,実数 s t を用いて BP =sBE +t BG と書ける.このとき, OP a c d s t で表すと OP = である.

(3)  OP a c d で表すと OP = である.

(4) この直方体のすべての辺の長さが 1 のとき, ▵EBP の面積は である.



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【4】 袋の中に, 1 と書かれた玉, 2 と書かれた玉, 3 と書かれた玉がそれぞれ 1 つずつ,合計 3 つの玉が入っている.この袋から玉を 1 つ取り出して書かれた数字を調べてからもとに戻す.この試行を n 回繰り返す n 2). 取り出した玉に書かれた数字を,取り出した順に X1 X2 Xn とする. Xi<X i+1 をみたす i 1 in-1 の個数を得点とするとき,以下の問いに答えよ.

(1) 試行を 3 回繰り返した結果(すなわち n=3 の場合),得点が 2 となる確率を求めよ.

(2) 試行を 3 回繰り返した結果(すなわち n=3 の場合),得点が 1 となる確率を求めよ.

(3) 試行を 3 回繰り返した結果(すなわち n=3 の場合),得点が 0 となる確率を求めよ.

(4) 試行を n 回繰り返した結果,得点が 0 となる確率を求めよ.

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【5】 関数 f( x)=x e-x2 を考える. y=f( x) のグラフを C とする.このとき,以下の問いに答えよ.(結論に至る過程も記述すること.)

(1)  f(x ) の増減,極値, C の凹凸,変曲点を調べて, C を座標平面上に描け.

(2) 原点を O とし, x>0 の表す領域にある変曲点を P とする.このとき, C と線分 OP で囲まれた部分の面積を求めよ.

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【6】  n を自然数とする.関数 f( x)=x sinx の第 n 次導関数 f( n) (x) について,次の等式がなりたつことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.

f(n )( x)=x sin(x+ n2π )+nsin (x+n 12 π)

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