2020　高崎経済大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(1)　$2$次不等式$x^2+5x+5\leqq 0$を解け．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(2)　${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{6}-2}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とする．$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(3)　$360$の正の約数の個数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(4)　$\sqrt[3]{3}÷\sqrt[12]{3}\times \sqrt[8]{9}$を計算せよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(5)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$について，$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}$とする．内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

【２】　$2$ つの変量$x$と$y$の組のデータを

$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2,y_2)\text{，}$$\cdots \text{，}$$(x_{12},y_{12})$

とする．ただし，変量$x$についてのデータの値は$x_k=\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi k}{12}}\right)$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$12\text{）}$であり，変量$y$についてのデータの値は$y_k=\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi k}{12}}\right)$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$12\text{）}$である．次の各問に答えよ．

(1)　変量$x$と$y$の散布図をかけ．ただし，変量$x$を横軸にとり，変量$y$を縦軸にとること．なお，解答は答えのみでよい．

(2)　変量$x$のデータの平均値$\bar{x}$を求めよ．

(3)　変量$x$と$y$の相関係数$r$を求めよ．

【３】　赤玉$n$個，白玉$(25-n)$個の合計$25$個の玉が入っている袋がある．ただし，$n$は$24$以下の自然数である．袋の中から玉を$1$個取り出し，色を調べてからもとに戻す試行を$k$回続けて行う．次の各問に答えよ．

(1)　$k=4\text{，}$$n=10$であるとき，少なくとも$1$回は白玉が出る確率を求めよ．

(2)　$k=8$であるとき，少なくとも$1$回は白玉が出る確率が$99.99\mathrm{\%}$以上となる最大の$n$の値を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771\text{，}$${\log }_{10}7=0.8451$とする．

【４】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．次の各問に答えよ．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+3n-1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_{n+1}-a_n=b_n$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【５】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数の定数とし，$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$を考える．$f(x)$は$x=-1$で極値$1$をとり，$y=f(x)$のグラフは点$(2,1)$を通る．次の各問に答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．また，関数$f(x)$の増減表を作成し，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(2,1)$における接線の方程式を求めよ．なお，解答は答えのみでよい．

(3)　曲線$y=f(x)$と(2)で求めた接線で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．