2020　前橋工科大学　前期MathJax

【１】　実数$p\text{，}$$q$に対して，

$3a_1+3^2{a}_2+\cdots +3^n{a}_n$$=3^n(n^2+pn+q)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす数列を$\{a_n\}$とする．$a_1=2\text{，}$$a_2=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$p\text{，}$$q$の値を求めなさい．

(2)　$n\geqq 2$に対して，数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

(3)　$n\geqq 4$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=4}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$の値を求めなさい．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を正の実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする空間内の$3$点$\mathrm{A}$$(\sqrt{a},0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,\sqrt{b},0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,\sqrt{c})$を通る平面を$\alpha$とし，$3$点${\mathrm{A}}^{\prime }$$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}},0,0)\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }$$(0,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{b}}},0)\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }$$(0,0,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{c}}})$を通る平面を${\alpha }^{\prime }$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて成分表示しなさい．

(2)　点$\mathrm{O}$から平面${\alpha }^{\prime }$に垂線を下ろし，平面${\alpha }^{\prime }$との交点を${\mathrm{H}}^{\prime }$とする．$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{\prime }}$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて成分表示しなさい．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{H}}^{\prime }}$のなす角を$\theta$とする．$\cos \theta$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表しなさい．

【３】　$f(x)=e^{-{(x-1)}^2}\text{，}$$g(x)=x(x^2-3x+3)e^{-{(x-1)}^2}$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　関数$y=f(x)$の増減を調べて，そのグラフの概形をかきなさい．

(2)　不等式$g(x)\geqq f(x)$を満たす$x$の範囲を求めなさい．

(3)　曲線$y=f(x)\text{，}$曲線$y=g(x)\text{，}$直線$x=0$および直線$x=2$で囲まれる図形の面積$S$を求めなさい．

【４】(1)　整式$64t^3+48t^2-24t-18$を$4t+3$で割った商を求めなさい．

(2)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とし，座標平面上に$2$点$\mathrm{P}$$(\cos \theta ,\sqrt{5}\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{Q}$$(\cos (\pi +2\theta ),\sqrt{5}\sin (\pi +2\theta ))$をとる．また，線分$\mathrm{PQ}$の長さの$2$乗を$f(\theta )$とする．関数$f(\theta )$について次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えなさい．

(ⅰ)　$t=\cos \theta$とおく．${\displaystyle \frac{f^{\prime }(\theta )}{\sin \theta }}$を$t$の$3$次式として表しなさい．

(ⅱ)　$f(\theta )$が最大値をとるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．