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2020 東京都立大 前期

人文・社会,経済経営,都市環境(文系)学部

易□ 並□ 難□

【1】  a を実数とする.関数 f (x )

f( x)= 14 (log1 2x2 )2 -log1 2( 8x1 -a) +a-8 1x 4

と定める. t=log 12 x とおくとき,以下の問いに答えなさい.

(1)  f( x) t を用いて表しなさい.

(2)  1x 4 のとき, t の値の範囲を求めなさい.

(3) 次の条件(*)をみたす a の値の範囲を求めなさい.

(*)  1x 4 のとき, f( x)< 0 である.

2020 東京都立大 前期

人文・社会,経済経営,都市環境(文系)学部

易□ 並□ 難□

【2】 次の条件によって定まる数列 {xn } {y n} について考える.

x1= 12 y1= 0 { xn+ 1=3 xn-2 yn yn+ 1=2 xn- yn n=1 2 3

以下の問いに答えなさい.

(1)  xn- yn n=1 2 3 を求めなさい.

(2) 数列 {x n} {y n} の一般項を求めなさい.

(3) 座標平面上の点 ( 192 ,19 ) を中心とする半径 2 17 の円の内部を U とする.ただし, U は境界線を含まないとする.点 (x n,y n) U に含まれるような自然数 n をすべて求めなさい.

2020 東京都立大 前期

人文・社会,経済経営,都市環境(文系)学部

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【3】  f( x)= 12 |x2 +2x -3| +x- 32 と定めるとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 関数 y =f( x) のグラフをかきなさい.

(2) 曲線 y =f( x) と直線 y =k( x+3) -5 2 の共有点の個数は,定数 k の値によってどのように変わるか調べなさい.

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人文・社会,経済経営,都市環境(文系)学部

易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (x )=2 ax- x2 (a> 12 ) に対し,原点 O における曲線 y =f( x) の接線を l とする. t を実数とし,点 (t, f( t) ) における曲線 y =f( x) の接線を m とする. 2 つの接線 l m が直交しているとき,以下の問いに答えなさい.

(1)  t a を用いて表しなさい.

(2) 曲線 y =f( x) と接線 m 2 直線 x =0 x=2 a で囲まれた図形の面積 S (a ) を求めなさい.

(3)  a> 12 のとき, S (a )a の最小値を求めなさい.また,そのときの a の値を求めなさい.

2020 東京都立大 前期

経済経営(数理),理,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

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【1】  f( x)= log( x+1 ) とするとき,以下の問いに答えなさい.ただし, log は自然対数とする.

(1)  f( x) の不定積分 f (x) dx を求めなさい.

(2) 自然数 n に対し,曲線 y =f( x) 上の点 (n, f( n) ) における接線を l n とする.曲線 y =f( x) と接線 l n と直線 x =2n で囲まれた図形の面積 S n を求めなさい.

(3) 極限値 limn Snn を求めなさい.

2020 東京都立大 前期

経営B,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

易□ 並□ 難□

2020年東京都立大前期理系【2】2020112610106の図

【2】 円 A と円 B と直線 l がそれぞれ異なる点で接しているとする. A との接点を P A とし, B l の接点を PB とする. C1 A B l に接する円とする.ただし, C1 l の接点 P1 は,線分 PA PB 上にあるとする.また, C2 A C 1 l に接する円とする.ただし, C2 l の接点 P 2 は,線分 PA P1 上にあるとする.以下同様に,自然数 n に対し, Cn+ 1 A C n l に接する円であり, Cn+ 1 l の接点 Pn +1 は線分 PA Pn 上にあるとする. A の半径を a とし, B の半径を b とするとき,以下の問いに答えなさい.

(1) 線分 PA PB の長さを a b を用いて表しなさい.

(2)  C1 の半径を r 1 とするとき, 1 r1 a b を用いて表しなさい.

(3)  Cn の半径を r n とするとき, 1 rn a b n を用いて表しなさい.

(4)  a b a +b=1 をみたしながら動くとき, Cn の半径 r n の最大値を n を用いて表しなさい.また,そのときの a の値を n を用いて表しなさい.



2020 東京都立大 前期

経営B,都市環境,システムデザイン,健康福祉(放射線)学部

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【3】 図1のように,グラウンドにかかれた四角形 A1 A2 A3 A4 を考える. i=1 2 3 4 に対し,頂点 Ai に生徒 Si が立っているとする.この状態から出発して,自然数 n に対し,次の試行(*)を n 回続けて行った後に,生徒 S1 が頂点 Ai に立っている確率を p i( n) とする.

(*) 四角形の辺をひとつ選び,その両端に立っている生徒の位置を交換する.ただし,四角形の辺の選び方は同様に確からしいとする.

例えば,図2は, n=2 のとき, 1 回目の試行で辺 A1 A2 を選び, 2 回目の試行で辺 A2 A3 を選んだ後の状態である.以下の問いに答えなさい.

(1)  p1 (1 ) p2 (1 ) p3 (1 ) p4 (1 ) を求めなさい.

(2)  i=1 2 3 4 とする.このとき, pi (n+ 1) p i-1 ( n) pi (n ) pi+ 1 (n ) を用いて表しなさい.ただし, p0 (n) =p4 (n ) p5 (n) =p1 (n ) とする.

(3)  p2 (n) =p4 (n )= 14 であることを示しなさい.

(4)  p1 (n ) n を用いて表しなさい.

(編注)図は簡略化した.

2020 東京都立大 前期

都市教養(数理科学)学部

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【1】 方程式 x 2-x y+y2 =3 の表す座標平面上の曲線で囲まれた図形を D とする.以下の問いに答えなさい.

(1) この方程式を y について解くと,

y= 12 {x± 3( 4-x2 )

となることを示しなさい.

(2)  3 x2 をみたす実数 x に対し, f( x)= 12 {x- 3( 4-x2 ) } とする. f( x) の最大値と最小値を求めなさい.また,そのときの x の値を求めなさい.

(3)  0x 2 をみたす実数 x に対し, g( x)= 12 { x+3 (4- x2) } とする. g( x) の最大値と最小値を求めなさい.また,そのときの x の値を求めなさい.

(4) 図形 D x 0 y0 の部分の面積を求めなさい.

2020 東京都立大 前期

都市教養(数理科学)学部

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【2】  O を原点とする座標平面の x 軸上に点 A があり,第 1 象限に点 B がある. A x 座標は正であるとし, ∠OAB= π3 ∠AOB= π4 AB=2 とする.原点 O から直線 AB に下ろした垂線を OC とし,点 B から直線 OA に下ろした垂線を BD とする.以下の問いに答えなさい.

(1) 線分 OA OB の長さを求めなさい.

(2) 点 C の座標を求めなさい.

(3) 実数 t 0 <t<1 の範囲を動くとする.線分 AB t :(1 -t) に内分する点を P t とし,線分 CD (1- t): t に内分する点を Qt とする.内積 O Pt O Qt の最小値を求めなさい.また,そのときの t の値を求めなさい.

2020 東京都立大 前期

都市教養(数理科学)学部

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【3】  α= 1+i2 とする.ただし, i は虚数単位を表し,複素数 z と共役な複素数を z で表す.以下の問いに答えなさい.

(1) 複素数 z に対し, α z+α z は実数になることを示しなさい.

(2) 複素数平面上で点 w が円 |w| =1 上を動くとき,点 z =4w+ 3w の描く図形を求めなさい.

(3) 点 z が(2)で求めた図形の上を動くとき, α z+α z の最大値と最小値を求めなさい.また,そのときの z の値を求めなさい.

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