2020　東京都立大　後期MathJax

【１】　座標空間に$4$点

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta ,0)\text{，}$$\mathrm{C}(x,y,z)$

がある．ただし，$\mathrm{OC}=1\text{，}$$\mathrm{\angle AOC}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}$$\mathrm{\angle BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\pi }{6}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるとする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$x$の値を求めなさい．

(2)　$x\cos \theta +y\sin \theta$の値を求めなさい．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V(\theta )$を$\cos \theta$を用いて表しなさい．

(4)　(3)で求めた$V(\theta )$の最大値を求めなさい．また，そのときの$\cos \theta$の値を求めなさい．

【２】　$a_0\text{，}$$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$はすべて異なる自然数であり，いずれも$10$以下であるとする．以下の問いに答えなさい．

(1)　方程式$a_{1}x+a_0=0$が整数解を持つような$a_0\text{，}$$a_1$の組は何通りあるか答えなさい．

(2)　$2$次方程式$x^2+2a_{1}x+a_0=0$が重解を持つような$a_0\text{，}$$a_1\text{，}$$a_2$の組は何通りあるか答えなさい．

(3)　関数$f(x)=a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$は単調増加であり，$f(1)=10$が成り立つとする．ただし，関数$f(x)$が単調増加であるとは，$x_1<x_2$であれば，つねに$f(x_1)<f(x_2)$が成り立つことをいう．このような$a_0\text{，}$$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$の組は何通りあるか答えなさい．

【３】　$n$を自然数とする．$j=0\text{，}$$1\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$に対し，

$I_j={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^j{(1-x)}^{n-j}\mathit{dx}$

とおく．ただし，$x^0=1\text{，}$${(1-x)}^0=1$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$j=0\text{，}$$1\text{，}$$\cdots \text{，}$$n-1$に対し，

$I_j={\displaystyle \frac{n-j}{j+1}}{I}_{j+1}$

が成り立つことを示しなさい．

(2)　$j=0\text{，}$$1\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$に対し，$I_J$の値を求めなさい．

(3)　$j=0\text{，}$$1\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$に対し，定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{(\sin \theta )}^{2j+1}{(\cos \theta )}^{2n-2j+1}\mathit{d\theta }$

の値を求めなさい．

【４】　関数$f(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$$\text{（}x\ne 0\text{）}$について，以下の問いに答えなさい．

(1)　$a<1$をみたす実数$a$に対し，曲線$y=f(x)$の接線で傾きが$a$のものが$2$つある．それらの方程式を求めなさい．

(2)　(1)で述べた$2$つの接線の距離$d(a)$を$a$を用いて表しなさい．

(3)　$g(a)={\left({\displaystyle \frac{d(a)}{4}}\right)}^2$とする．関数$y=g(a)$$\text{（}a<1\text{）}$の最大値と，そのときの$a$の値を求めなさい．